Ensino Médio ⇒ Função Exponencial Tópico resolvido

[Oziel]

Determine o número de soluções de [tex3]2^{x} = x^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2^{x} = x^{2}[/tex3]

.

Resposta

---

2 soluções segundo o FME, e 3 soluções segundo a resolução do FME.

[snooplammer]

[tex3]\log 2^x = \log x^2[/tex3]

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[tex3]\log 2^x = \log x^2[/tex3]

[tex3]x\cdot \log 2=2\log x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\cdot \log 2=2\log x[/tex3]

[tex3]\frac{\log x}{x}=\frac{\log 2}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{\log x}{x}=\frac{\log 2}{2}[/tex3]

[tex3]x=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=2[/tex3]

Da pra provar que vale para 4 pelo mesmo método
Existem 2 soluções reais e uma complexa
Não sei como provar a complexa
Mas, é possível utilizando cálculo uma resposta imediata pra essa questão, que são 3 soluções

[miguel747]

De fato são 3 soluções. Duas triviais:

[tex3]x = 2[/tex3]

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[tex3]x = 2[/tex3]

e [tex3]x = 4[/tex3]

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[tex3]x = 4[/tex3]

[tex3]x\ln 2 = 2 ln x \\
\frac{\ln x}{x} = \frac{\ln 2}{ 2}[/tex3]

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[tex3]x\ln 2 = 2 ln x \\
\frac{\ln x}{x} = \frac{\ln 2}{ 2}[/tex3]

Da pra achar o valor 4 da mesma forma só multiplicar a equação por 2.


E outra solução nem tanto fácil pois utiliza um conceito de função W de Lambert

[Oziel]

Dá pra fazer apenas por função exponencial ? Só estudei isso até agora.

O que seria In ?

[MatheusBorges]

Como te disse, faça os gráficos. É isso que teu livro quer que você note, como as funções se comportam.

MSP44241894h5ei10ff1b1g000058423049a10g4cf1.gif (4.57 KiB) Exibido 959 vezes

O livro te ensinou a maneria de esboçar os gráficos e claramente não foi sem motivo. Agora quais pontos jogar sabiamente, você só vai pegar o jeito fazendo. Simplesmente assim (estudo ativo).

[MatheusBorges]

Vou te explicar como você deve fazer, neste momento. Alguns meses depois quando você estudar cálculo não vai precisar, mas agora é fundamental desenvolver essa "malícia".
[tex3]f(x)=x^{2}\\
g(x)=2^{x}[/tex3]

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[tex3]f(x)=x^{2}\\
g(x)=2^{x}[/tex3]

A primeira coisa desenhe a f(x) para valores de x=-5,-4-3-2-1,0,1,2,3,4,5. Um de cada vez, claro.
Duas soluções são óbvias, x=4 e x=2, então sabemos que g(x) bate na f(x) nesses pontos, faça um rabisco. Agora jogue g(3) e f(3) e depois g(5) e f(5) e vê o que você encontra. Então para [tex3]x>4\rightarrow g(x)>f(x)[/tex3]

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[tex3]x>4\rightarrow g(x)>f(x)[/tex3]

e para [tex3]2< x<4\rightarrow g(x)< f(x)[/tex3]

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[tex3]2< x<4\rightarrow g(x)< f(x)[/tex3]

, assim o gráfico da função [tex3]g(x)[/tex3]

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[tex3]g(x)[/tex3]

começa a sair, aparecer.
Repare que quando [tex3]0< x<1[/tex3]

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[tex3]0< x<1[/tex3]

g(x) será maior que 1 pois a base é maior que 1. Isso é propriedade de exponenciação. Ja f(x) será menor que 1, sempre!
[tex3]x=\frac{1}{2}\rightarrow f(x)=\frac{1}{4}\cap g(x)=\sqrt{2} [/tex3]

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[tex3]x=\frac{1}{2}\rightarrow f(x)=\frac{1}{4}\cap g(x)=\sqrt{2} [/tex3]

Agora haverá uma outra raiz, eu não sei qual é, pode ser x=-3 eu não sei, mas pelos gráficos é intuítivo que acontecerá para [tex3]x <0[/tex3]

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[tex3]x <0[/tex3]

. E só uma vez pois [tex3]x <0\rightarrow 0< g(x) <1[/tex3]

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[tex3]x <0\rightarrow 0< g(x) <1[/tex3]

ou seja g(x) é decrescente já f(x) é um espelho para [tex3]x<0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x<0[/tex3]

e sempre será crescente!
É isso que o livro quer que você pense. Claro que com cálculo você faz muito mais rápido e elegantemete. Mas apriori é esse o raciocínio.