Ensino Médio ⇒ Determine 11S de acordo com a seguinte função: Tópico resolvido

[seohus]

[tex3]S = \frac{3}{1^{2}}+\frac{5}{1^{2}+2^{2}}+ \frac{7}{1^{2}+2^{2}+3^{2}}+ ... + \frac{21}{1^{2}+2^{2}+...+10^{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S = \frac{3}{1^{2}}+\frac{5}{1^{2}+2^{2}}+ \frac{7}{1^{2}+2^{2}+3^{2}}+ ... + \frac{21}{1^{2}+2^{2}+...+10^{2}}[/tex3]

[Andre13000]

Utilize a notação somatório:

[tex3]S=\sum_{k=1}^{10} \frac{2k+1}{\sum_{j=1}^k j^2}=\sum_{k=1}^{10} \frac{2k+1}{\frac{(2k+1)(k+1)k}{6}}=\sum_{k=1}^{10} \frac{6}{k(k+1)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S=\sum_{k=1}^{10} \frac{2k+1}{\sum_{j=1}^k j^2}=\sum_{k=1}^{10} \frac{2k+1}{\frac{(2k+1)(k+1)k}{6}}=\sum_{k=1}^{10} \frac{6}{k(k+1)}[/tex3]

Note que [tex3]\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}[/tex3]

, e portanto a série é chamada telescópica.

[tex3]S=6\cdot \(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{10}-\frac{1}{11}\)=6\cdot \(1-\frac{1}{11}\)\\
11S=66-6=60[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S=6\cdot \(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{10}-\frac{1}{11}\)=6\cdot \(1-\frac{1}{11}\)\\
11S=66-6=60[/tex3]