Ensino Médio ⇒ Função Exponencial Tópico resolvido

[Oziel]

Represente graficamente a função f: R->R,definida por f(x)=[tex3]e^{-x^{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]e^{-x^{2}}[/tex3]

Como chego a uma resposta ?

Resposta

---

não possuo

[MatheusBorges]

[tex3]e^{-x^{2}}=\frac{1}{e^{x^{2}}}[/tex3]

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[tex3]e^{-x^{2}}=\frac{1}{e^{x^{2}}}[/tex3]

Com x=0, você tem a função cortando o eixo y em 1, obviamente que a função será sempre positiva, pois o número de Euler é maior que 0. Agora de valores para a função e tire suas conclusões.

[Oziel]

Há alguma outra maneira de construir o gráfico sem ser jogando valores ?

[MatheusBorges]

Oziel, preste bem atenção na sua pergunta.

[jvmago]

Usando cálculo.

[tex3]f(x)=e^{-x^{2}}[/tex3]

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[tex3]f(x)=e^{-x^{2}}[/tex3]

[tex3]f'(x)=e^{-x^2}*-2x[/tex3]

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[tex3]f'(x)=e^{-x^2}*-2x[/tex3]

[tex3]f'(x)=-2x*e^{-x^2}[/tex3]

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[tex3]f'(x)=-2x*e^{-x^2}[/tex3]

[tex3]f'(x)=0\rightarrow x*e^{-x^2}=0[/tex3]

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[tex3]f'(x)=0\rightarrow x*e^{-x^2}=0[/tex3]

note que [tex3]e^{-x^2}>0[/tex3]

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[tex3]e^{-x^2}>0[/tex3]

sempre logo a raíz é [tex3]0[/tex3]

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[tex3]0[/tex3]

[tex3]x<0\rightarrow f'(x)>0[/tex3]

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[tex3]x<0\rightarrow f'(x)>0[/tex3]

nada podemos afirmar
[tex3]x>0\rightarrow f'(x)>0[/tex3]

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[tex3]x>0\rightarrow f'(x)>0[/tex3]

nada podemos afirmar

Fazendo a derivada segunda

[tex3]f''(x)=-2*e^{-x^2}-2x*e^{-x^2}*(-2x)[/tex3]

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[tex3]f''(x)=-2*e^{-x^2}-2x*e^{-x^2}*(-2x)[/tex3]

[tex3]f''(x)=-2*e^{-x^2}+4x^2*e^{-x^2}[/tex3]

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[tex3]f''(x)=-2*e^{-x^2}+4x^2*e^{-x^2}[/tex3]

[tex3]f''(x)=0[/tex3]

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[tex3]f''(x)=0[/tex3]

[tex3]-e^{-x^2}+2x^2*e^{-x^2}=0[/tex3]

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[tex3]-e^{-x^2}+2x^2*e^{-x^2}=0[/tex3]

[tex3]e^{-x^2}*(-1+2x^2)=0[/tex3]

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[tex3]e^{-x^2}*(-1+2x^2)=0[/tex3]

[tex3]x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

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[tex3]x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

são pontos de inflexão
[tex3]f''(0)=-e^{-0^2}+2*0^2*e^{-0^2}=-1<0[/tex3]

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[tex3]f''(0)=-e^{-0^2}+2*0^2*e^{-0^2}=-1<0[/tex3]

para [tex3]x=0[/tex3]

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[tex3]x=0[/tex3]

temos um ponto de máximo
então é possivel afirmar que no intervalo [tex3][\frac{-\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}][/tex3]

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[tex3][\frac{-\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}][/tex3]

[tex3]f(x)[/tex3]

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[tex3]f(x)[/tex3]

tem concavidade negativa e para todos os outros intervalos, concavidade positiva.

Por fim [tex3]f(x)=e^{-x^2}[/tex3]

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[tex3]f(x)=e^{-x^2}[/tex3]

[tex3]f(0)-e^{-0^2}=1[/tex3]

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[tex3]f(0)-e^{-0^2}=1[/tex3]

é a imagem máxima dessa função

[jvmago]

se você plotar esse gráfico, ela vai subir uma parábola ate [tex3]1[/tex3]

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[tex3]1[/tex3]

e descer até o infinito positivo

[jvmago]

geogebra-export (16).png (74.82 KiB) Exibido 528 vezes

Observe quando [tex3]x=+-\frac{\sqrt{2}}{2}=+-0,7[/tex3]

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[tex3]x=+-\frac{\sqrt{2}}{2}=+-0,7[/tex3]

a parábola parece uma reta e entre esses valores temos ali a concavidade para baixo e os outros intervalos para cima como foi deduzido