Ensino Médio ⇒ (FME) Módulo de um número complexo Tópico resolvido

[MatheusBorges]

Boa noite pessoal!
Estou meio incerto se entendi uma demonstração, vou compartilhar com vocês o raciocínio.
20 Teorema
[tex3]\text{Se }z_1 \text{ e }z_2 \text{ são dois números complexos quaisquer, então:}\\
|z_1.z_2|=|z_1|.|z_2|\\
\text{Demonstração:} |z_1.z_2|^{2}=(z_1.z_2).(\overline{z_1.z_2})=(z_1.z_2)(\bar{z_1}.\bar{z_2})=(z_1.\bar{z_1}).(z_2.\bar{z_2})=|z_1|^{2}.|z_2|^{2}\rightarrow |z_1.z_2|=|z_1|.|z_2|\\
\text{Minha dúvida é: }|z_1.z_2|^{2}=(z_1.z_2).(\overline{z_1.z_2})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text{Se }z_1 \text{ e }z_2 \text{ são dois números complexos quaisquer, então:}\\
|z_1.z_2|=|z_1|.|z_2|\\
\text{Demonstração:} |z_1.z_2|^{2}=(z_1.z_2).(\overline{z_1.z_2})=(z_1.z_2)(\bar{z_1}.\bar{z_2})=(z_1.\bar{z_1}).(z_2.\bar{z_2})=|z_1|^{2}.|z_2|^{2}\rightarrow |z_1.z_2|=|z_1|.|z_2|\\
\text{Minha dúvida é: }|z_1.z_2|^{2}=(z_1.z_2).(\overline{z_1.z_2})[/tex3]

Bom revirando o livro, fiz esta linha de raciocínio:
[tex3]z.\bar{z}=x^{2}+y^{2} \text{ sendo z }=x+y.i \text{. E a norma de } z \text{ é dada por } N(z)=x^{2}+y^{2}\rightarrow N(z)=z.\bar{z} \text{ e sabemos que } \sqrt{N(z)}=|z|=|\bar{z}| \\
\therefore z^{2}=z.\bar{z}[/tex3]

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[tex3]z.\bar{z}=x^{2}+y^{2} \text{ sendo z }=x+y.i \text{. E a norma de } z \text{ é dada por } N(z)=x^{2}+y^{2}\rightarrow N(z)=z.\bar{z} \text{ e sabemos que } \sqrt{N(z)}=|z|=|\bar{z}| \\
\therefore z^{2}=z.\bar{z}[/tex3]

Se eu chamar:
[tex3]z_1.z_2=z_3[/tex3]

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[tex3]z_1.z_2=z_3[/tex3]

(I)
Cai no raciocínio acima. Essa forma de pensar está correta? E se estiver, é possível entender essa passagem sem fazer a substituição (I)?
Obrigado!

[MatheusBorges]

Entendi galera!
Vou postar.

[MatheusBorges]

[tex3]|z_1.z_2|^{2}=(z_1.z_2)^{2}=(z_1.z_2).(z_1.z_2)=z_1^{2}.z_2^{2}=z_1.\bar{z_1}.z_2.\bar{z_2}=(z_1.z_2).(\overline{z_1.z_2})[/tex3]

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[tex3]|z_1.z_2|^{2}=(z_1.z_2)^{2}=(z_1.z_2).(z_1.z_2)=z_1^{2}.z_2^{2}=z_1.\bar{z_1}.z_2.\bar{z_2}=(z_1.z_2).(\overline{z_1.z_2})[/tex3]

Cabeça doeu agora kkk

[csmarcelo]

MafIl10, seu primeiro raciocínio está correto. Já o segundo, não, em pelo menos duas partes.

Além disso, qual o problema da substituição?

[MatheusBorges]

Esta parte? Por que?
[tex3]|z_1.z_2|^{2}=(z_1.z_2)^{2}[/tex3]

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[tex3]|z_1.z_2|^{2}=(z_1.z_2)^{2}[/tex3]

(I)
Não tem nenhum problema em fazer a substituição, mas sinto que deve ter alguma outro modo (mais inteligente) de vê essa passagem.

[csmarcelo]

Poxa, eu acho a substituição inteligente. Simples, mas inteligente.

Com relação ao segundo raciocínio, você diz que:

1) [tex3]|z_1.z_2|^{2}=(z_1.z_2)^{2}[/tex3]

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[tex3]|z_1.z_2|^{2}=(z_1.z_2)^{2}[/tex3]

Mas,

1.1) [tex3]|z|^2=a^2+b^2[/tex3]

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[tex3]|z|^2=a^2+b^2[/tex3]

2.1) [tex3]z^2=(a^2-b^2)+2abi[/tex3]

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[tex3]z^2=(a^2-b^2)+2abi[/tex3]

E você repete o raciocínio aqui:

[tex3]z_1^{2}.z_2^{2}=z_1.\bar{z_1}.z_2.\bar{z_2}[/tex3]

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[tex3]z_1^{2}.z_2^{2}=z_1.\bar{z_1}.z_2.\bar{z_2}[/tex3]

[MatheusBorges]

csmarcelo, muito obrigado. Eu estava confundindo (não entendi mesmo) o "módulo" dos reais com esse de agora.

[csmarcelo]

Nem tinha reparado que você tinha feito essa associação.

Sim, são coisas distintas. Não sei se já chegou nessa parte, mas o valor do módulo de um número complexo corresponde, no Plano de Argand-Gauss, ao da distância da origem ao ponto determinado por esse número.

De uma outra forma: se [tex3]z=a+bi[/tex3]

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[tex3]z=a+bi[/tex3]

, então [tex3]|z|[/tex3]

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[tex3]|z|[/tex3]

possui o mesmo valor da medida da hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem [tex3]a[/tex3]

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[tex3]a[/tex3]

e [tex3]b[/tex3]

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[tex3]b[/tex3]

.

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[MatheusBorges]

Não cheguei, o livro apenas jogou a definição e eu fiquei lá quebrando a cabeça . Muito obrigado pela força!