Ensino MédioQuando pode usar permutação e quando se usa binomial Tópico resolvido

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CAPITÃOVERDI
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Mar 2018 07 08:36

Quando pode usar permutação e quando se usa binomial

Mensagem não lida por CAPITÃOVERDI »

Uma dúvida minha. Nessa questão aqui:
""Uma turma tem 20 alunos. Pretende-se constituir uma comissão formada por 4 alunos dessa turma para organizar um passeio. Acordou-se que um dos elementos da comissão será o delegado ou o subdelegado da turma, mas não os dois. Quantas comissões se podem formar?"
A questão é simples.

Entretanto, quando eu tentei resolver eu utilizei duas maneiras. Inicialmente, como são quatro posições e duas devem ser do delegado e do subdelegado, fiz 2 x 18 x 17 x 16. Esse método está errado. Eu tentei então a conta seguinte 2 x [tex3]C_{3}^{18}[/tex3] e isso que é a resposta correta.

Por quê isso se dá? O que tá errado no arranjo que eu fiz inicialmente? Parece bem mais lógico. 2 opções descartadas, para o resto dos espaços há 18, 17 e 16 pessoas.

Desde já, obrigado.
Resposta

1632



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joaopcarv
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Mar 2018 07 10:39

Re: Quando pode usar permutação e quando se usa binomial

Mensagem não lida por joaopcarv »

CAPITÃOVERDI, olá.

O seu primeiro método está errado porque a ordem de escolha dos alunos não importa, simplesmente isso.

Eu procurei os últimos tópicos que eu respondi sobre arranjo e sobre combinação, para servir de exemplo mesmo [tex3]\rightarrow[/tex3]

viewtopic.php?f=3&t=59745&p=158129#p158129

viewtopic.php?f=3&t=59759&p=158254#p158254

(Eu ainda não usava o \mathsf :lol: )

Ok, vamos então ao seu exercício...

Como você fez, primeiramente vamos escolher ou o delegado ou o subdelegado : [tex3]\mathsf{C_{(2,1)}}[/tex3]

Após isso, teremos que tirar tanto o escolhido quanto o outro, pois não podem estar os dois na comissão. Sobram [tex3]\mathsf{18}[/tex3] alunos em [tex3]\mathsf{3}[/tex3] vagas [tex3]\rightarrow[/tex3]

[tex3]\mathsf{C_{(18,3)}}[/tex3]

Multiplicando pela regra da sequência / regra do E :

[tex3]\mathsf{C_{(2,1)} \ \cdot \ C_{(18.3)} \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{2 \ \cdot \ 816 \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{1632 \ comissões \ totais}}}[/tex3]

Enfim, e usamos a combinação aqui porque a ordem de retirada simplesmente não importa!

Se eu chamo para fazer parte da comissão os alunos [tex3]\mathsf{A, \ B, \ C}[/tex3] , por exemplo, em qualquer uma das [tex3]\mathsf{3!}[/tex3] permutações possíveis, vai fazer alguma diferença? Neste caso, não!

Pense que é como você escolher jogadores para fazer parte do seu time de futebol...

Agora, se eu falo assim, o primeiro que eu escolher ganha [tex3]\mathsf{3}[/tex3] moedas de ouro, o segundo [tex3]\mathsf{2}[/tex3] moedas de ouro e o terceiro [tex3]\mathsf{1}[/tex3] de ouro... perceba que aqui fará diferença a ordem de escolha! Por isso, eu usaria um arranjo nessas circunstâncias!

Em suma [tex3]\rightarrow[/tex3]

[tex3]\circ[/tex3] Se eu quero fazer uma comissão, um grupo, algo do tipo, e deixo explícito que a orem de escolha não importa, eu tenho que descontar a permuta entre os escolhidos, afinal, [tex3]\mathsf{A, \ B, \ C}[/tex3] , [tex3]\mathsf{B, \ A, \ C}[/tex3] , [tex3]\mathsf{B, \ C, \ A}[/tex3] , etc, são o mesmo grupo;

[tex3]\bullet[/tex3] Se eu quero fazer um sorteio, um grupo, etc, e deixo explícito que a ordem importa (ou seja, por exemplo, o primeiro será o presidente, o segundo o diretor, etc, ou senão que simplesmente o primeiro será justamente o primeiro colocado, o segundo o segundo colocado, etc) aí eu deixo a permuta entre os escolhidos, porque cada ordem fará uma associação diferente.

[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{P_{(p)} \ \cdot \ C_{(n,p)} \ = \ A_{(n,p)}}}}[/tex3]



That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.

"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"

Poli-USP

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CAPITÃOVERDI
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Mar 2018 07 14:31

Re: Quando pode usar permutação e quando se usa binomial

Mensagem não lida por CAPITÃOVERDI »

Obrigado, ajudou bastante. O negócio do arranjo que achei meio complicadinho, difícil entrar na cabeça que o arranjo representa uma ordem complexa e respeita posições. Mas vou aprender a usar, valeu!



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