Ensino MédioProgressão aritmética Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

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Rory
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Mar 2018 06 17:46

Progressão aritmética

Mensagem não lida por Rory »

Olá, como resolvo a seguinte questão?

A soma de cinco números, reais e inteiros, em progressão aritmética é 25 e o produto, -880. Determine esses números.
Resposta

(-1, 2, 5, 8, 11)




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MatheusBorges
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Mar 2018 06 18:09

Re: Progressão aritmética

Mensagem não lida por MatheusBorges »

Chame os elementos da P.A de:
x-2r, x-r, x, x+r, x+2r
Soma:
[tex3]x-2r+x-r+x+x+r+x+2r=25\rightarrow x=5[/tex3]
Produto
[tex3](5-2r)(5-r)(5).(5+r).(5+2r)=-880[/tex3]
[tex3](25-4r^{2}).(25-r^{2})=-176[/tex3]
Vai cair em uma biquadrada. Da uma boa diversão, faça os cálculos.

Última edição: MatheusBorges (Ter 06 Mar, 2018 18:09). Total de 1 vez.


A alegria está na luta, na tentativa, no sofrimento envolvido e não na vitória propriamente dita.
-Mahatma Gandhi

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Andre13000
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Mar 2018 06 18:09

Re: Progressão aritmética

Mensagem não lida por Andre13000 »

O grande problema é que às vezes você começa a montar uma monte de equações, que são "resolvíveis" mas demora tempo e você acaba se enrolando. Não faça [tex3]a_1=a[/tex3] , [tex3]a_2=a_1+r[/tex3] , etc. Eu proponho a progressão [tex3](t-2r,t-r,t,t+r,t+2r)[/tex3] . Veja agora como fica fácil o problema:

[tex3]5t=25\to t=5\\
t(t^2-r^2)(t^2-4r^2)=-880\\
5(5^2-r^2)(5^2-4r^2)=-880\\
(5-r)(5+r)(5-2r)(5+2r)=-176[/tex3]

Agora veja: a progressão é composta de inteiros, então r é inteiro. Ainda, temos [tex3]176=2^4\cdot 11[/tex3] , e podemos usar esse fato. Veja este dois fatores [tex3](5-2r)(5+2r)[/tex3] . Eles sempre são ímpares. Então um tem que ser 11 e o outro 1. Ainda, suponha que r>0, pois tanto faz se ele é menor ou maior que zero. O primeiro caso é:

[tex3](5-2r)=-11\to r=8[/tex3]

Mas veja, r não pode ser par, senão estes dois fatores [tex3](5-r)(5+r)[/tex3] serão ímpares. Então a segunda e última possibilidade:

[tex3]5+2r=11\\
r=3[/tex3]

Portanto a progressão que queremos é justamente [tex3](-1,2,5,8,11)[/tex3]



“Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible.” -Richard Feynman

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