Ensino Médio

Fala pessoal! Comecei o estudo dos números complexos e estou com uma dúvida grandíssima!
[tex3]i=\sqrt{-1}\rightarrow i^{2}=(-1)^{\frac{2}{2}}=-1[/tex3]
Veja agora, que coisa estranha:
[tex3]i=\sqrt{-1}\rightarrow i.i=\sqrt{-1}.\sqrt{-1}\rightarrow i^{2}=\sqrt{-1.-1}=\sqrt{1}=1[/tex3]
Bom eu não sei o que estou errando nas continhas, alguém pode me ajudar?

Mensagem não lidapor **jvmago** » Ter 06 Mar, 2018 14:11 · Mensagem não lida por **jvmago** » Ter 06 Mar, 2018 14:11

[tex3]i=\sqrt{-1}[/tex3]
[tex3]i^2=(\sqrt{-1})^2=-1[/tex3]

Mensagem não lidapor **jvmago** » Ter 06 Mar, 2018 14:12 · Mensagem não lida por **jvmago** » Ter 06 Mar, 2018 14:12

note que a minha afirmação [tex3]\sqrt{-1*-1}[/tex3] não há multiplicação pelo que não existe logo, a aplicação das propriedades de potência recaem direto sobre o [tex3]i[/tex3]

Ache que a ficha caiu, estava fazendo a multiplicação errado.
Se eu fizer assim:
[tex3]i.i=(0,1).(0,1)=(-1,0)=-1=i^{2}[/tex3]

jvmago, mais antes de editar sua resposta, você considerou certa minha multiplicação de forma que existe. Estou com dúvida. Não seria o raciocínio que coloquei abaixo? i.i no caso é (0,1).(0,1)=(-1,0)? Por que nos complexos a multiplicação é diferente!
[tex3]\sqrt{-1.-1}=(\sqrt{-1})^{2}=-1[/tex3] você tinha feito isso. Se isso for válido, não vejo o porque da minha ideia inicial, estar errada. Ou você escreveu errado?

Mensagem não lidapor **jvmago** » Ter 06 Mar, 2018 16:13 · Mensagem não lida por **jvmago** » Ter 06 Mar, 2018 16:13

MafIl10 escreveu: ↑
Ter 06 Mar, 2018 16:10
jvmago, mais antes de você editar sua resposta considerou certa minha multiplicação de forma que existe. Estou com dúvida. Não seria o raciocínio que coloquei abaixo? i.i no caso é (0,1).(0,1)=(-1,0)? Por que nos complexos a multiplicação é diferente!

Desta forma está correta sim. Fazer o raciocínio desta maneira [tex3]\sqrt{(-1)*(-1)}[/tex3] é que está errado já que significa multiplicar o "inexistente".

Mensagem não lidapor **jvmago** » Ter 06 Mar, 2018 16:16 · Mensagem não lida por **jvmago** » Ter 06 Mar, 2018 16:16

Voce pode trabalhar com o todo [tex3]\sqrt{-1}=i[/tex3] mas nunca o [tex3]-1[/tex3] que está dentro

Mas [tex3]i^{2}.i^{2}=-1.-1=1[/tex3] e por que não [tex3]i.i=\sqrt{-1.-1}[/tex3]

Mensagem não lidapor **jvmago** » Ter 06 Mar, 2018 18:28 · Mensagem não lida por **jvmago** » Ter 06 Mar, 2018 18:28

MafIl10 escreveu: ↑
Ter 06 Mar, 2018 17:54
Mas [tex3]i^{2}.i^{2}=-1.-1=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]i^{2}.i^{2}=-1.-1=1[/tex3]

e por que não [tex3]i.i=\sqrt{-1.-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]i.i=\sqrt{-1.-1}[/tex3]

Quando determinaram a constante [tex3]i=\sqrt{-1}[/tex3] precisaram criar o conjunto dos Complexos para que [tex3]i[/tex3] pudesse "existir" já que não existe nenhum número que elevado a [tex3]n[/tex3] , onde [tex3]n[/tex3] é par, que resulte em negativo. Agora vou demonstrar sua dúvida recorrendo a definição:

Os números complexos [tex3](x1, y1)[/tex3] e [tex3](x2, y2)[/tex3] são iguais se, e somente se,[tex3]x1 = x2[/tex3] e [tex3]y1 = y2[/tex3] desta forma, as propriedades de soma e produto são respectivamente [tex3](x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2 , y1 + y2)[/tex3] e [tex3](x1, y1)*(x2, y2) = (x1*x2 – y1*y2 ; x1*y2 + y1*x2)[/tex3] .

Observaremos o complexo [tex3]i=(0,1)[/tex3] e [tex3]i*i=(0,1)(0,1)=(0*0 – 1*1, 0*1 + 1*0) = (0 – 1, 0 + 0) = (– 1, 0)=-1[/tex3]

Mensagem não lidapor **jvmago** » Ter 06 Mar, 2018 18:31 · Mensagem não lida por **jvmago** » Ter 06 Mar, 2018 18:31

Note que é possível provar todos os expoentes notáveis [tex3](0,1,2,3)[/tex3] de [tex3]i[/tex3] utilizando esse método.

Ensino Médio ⇒ Introdução aos números complexos Tópico resolvido

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