Ensino Médio ⇒ Semelhança de Triângulos Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:20100)]

Demonstre que se duas alturas de um triangulo são congruentes, então esse triângulo é isósceles.

[MatheusBorges]

[tex3]h_b=\frac{2}{b}.\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=h_a=\frac{2}{a}.\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\rightarrow b=a[/tex3]

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[tex3]h_b=\frac{2}{b}.\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=h_a=\frac{2}{a}.\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\rightarrow b=a[/tex3]

[rodBR]

Olá amandaperrea, bom dia.

Demonstração:
Seja [tex3]\triangle ABC[/tex3]

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[tex3]\triangle ABC[/tex3]

de base [tex3]\overline{AC}[/tex3]

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[tex3]\overline{AC}[/tex3]

. Considere [tex3]\overline{CT} \ \ e \ \ \overline{AK}[/tex3]

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[tex3]\overline{CT} \ \ e \ \ \overline{AK}[/tex3]

alturas, tal que [tex3]\overline{CT}[/tex3]

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[tex3]\overline{CT}[/tex3]

é perpendicular a [tex3]\overline{AB}[/tex3]

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[tex3]\overline{AB}[/tex3]

e [tex3]\overline{AK}[/tex3]

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[tex3]\overline{AK}[/tex3]

é perpendicular a [tex3]\overline{BC}[/tex3]

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[tex3]\overline{BC}[/tex3]

.
Com efeito dessa construção, temos dois triângulo a observar [tex3]\triangle ACT \ \ e \ \ \triangle ACK[/tex3]

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[tex3]\triangle ACT \ \ e \ \ \triangle ACK[/tex3]

. De tais triângulos, note que:
[tex3]\begin{cases}
\overline{CT} \equiv \overline{AK}\\
\overline{AC} \ é \ comum \ a \ ambos \ os \ triângulos \\
\angle ATC\equiv \angle CKA
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
\overline{CT} \equiv \overline{AK}\\
\overline{AC} \ é \ comum \ a \ ambos \ os \ triângulos \\
\angle ATC\equiv \angle CKA
\end{cases}[/tex3]

Segue-se que [tex3]\triangle ACT \equiv \triangle ACK[/tex3]

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[tex3]\triangle ACT \equiv \triangle ACK[/tex3]

.
Por outro lado, da congruência supracitada, temos que [tex3]\angle CAT \equiv \angle ACK[/tex3]

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[tex3]\angle CAT \equiv \angle ACK[/tex3]

, ou seja, [tex3]\angle CAB \equiv \angle ACB[/tex3]

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[tex3]\angle CAB \equiv \angle ACB[/tex3]

.
Portanto, [tex3]\triangle ABC \ é \ isósceles[/tex3]

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[tex3]\triangle ABC \ é \ isósceles[/tex3]

.



att>>rodBR