Ensino Médio ⇒ Trigonometria Tópico resolvido

[Optmistic]

Mostre que o valor trigonométrico de ( -5 ) é :



Favor deixar o cálculo bem explicado.

Resposta

---

5.(cos π + i sen π)

[Andre13000]

Veja:

Localizando o ponto o ponto no plano argand gauss, vemos que ele está 5 unidades à esquerda da origem (0+0i). Ou seja, ele esta à uma distância de 5 unidades da origem. Além disso, se você estiver no centro do plano olhando para a direita (no sentido da reta real crescente), e começar a virar para a esquerda, vai ter que virar 180 graus até que você consiga enxergar esse ponto no meio da sua visão. Você girou [tex3]\pi[/tex3]

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[tex3]\pi[/tex3]

em radianos. A forma polar do número complexo diz que devemos, então, ter

[tex3]z=r\cis\theta=(5)\cdot \cis \pi=5(\cos \pi+i\sen \pi)[/tex3]

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[tex3]z=r\cis\theta=(5)\cdot \cis \pi=5(\cos \pi+i\sen \pi)[/tex3]

No geral, se tivermos um ponto qualquer [tex3]a+bi[/tex3]

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[tex3]a+bi[/tex3]

, sua forma polar:

[tex3]z=r\cis\theta\\
r=\sqrt{a^2+b^2}\\
\sin\theta=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\
\cos\theta=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex3]

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[tex3]z=r\cis\theta\\
r=\sqrt{a^2+b^2}\\
\sin\theta=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\
\cos\theta=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex3]

[Optmistic]

[tex3]z=r.cis\ \theta [/tex3]

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[tex3]z=r.cis\ \theta [/tex3]

, significa que mesmo sendo seu oposto 5 ou -5 , terão o mesmo resultado ?

[Andre13000]

Não entendi o que quis dizer. Mas como a raíz sempre é positiva, quem manda no sinal negativo ou positivo na expressão é o argumento do complexo, que nesse caso [tex3]z=r\cis\theta[/tex3]

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[tex3]z=r\cis\theta[/tex3]

é o teta. Sempre teremos [tex3]r\geq 0[/tex3]

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[tex3]r\geq 0[/tex3]

.

Veja a diferença dos números complexos 5 e -5:

[tex3]5=5\cis 0\\
-5=5\cis \pi[/tex3]

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[tex3]5=5\cis 0\\
-5=5\cis \pi[/tex3]

[Optmistic]

Entendi ! Obrigado !