Ensino Médio

SenhorLion

Calcular a image de :

[tex3]y = 2 +\frac{x²}{x²+4}[/tex3]

Como chegar na resposta? Tentei pelo vértice da parábola e não consegui chegar no resultado do gabarito.

Resposta:

Resposta

[tex3][2;3)[/tex3]

[tex3]x^2[/tex3] e [tex3]x^2+4[/tex3] são números não negativos. Dessa forma, o menor valor possível de [tex3]\frac{x^2}{x^2+4}[/tex3] é zero, que acontece quando [tex3]x=0[/tex3] .

Agora, repare que, quanto maior o valor de [tex3]x[/tex3] , mais próximo [tex3]\frac{x^2}{x^2+4}[/tex3] estará de 1, mas nunca sendo exatamente igual.

Dessa forma, a imagem da função é [tex3][2+0,2+1[\ =\ [2,3[.[/tex3]

Resoluçao:
[tex3]y=\frac{3x^{2}+8}{x^{2}+4} [/tex3]
[tex3]y.x^{2}+4y=3x^{2}+8[/tex3]
[tex3]y.x^{2}-3x^{2}+4y-8=0[/tex3]
[tex3](y-3)x^{2} +4y-8=0[/tex3]
[tex3]x^{2}=\frac{8-4y}{y-3}[/tex3]
[tex3]x=\sqrt{\frac{8-4y}{y-3}}[/tex3]
Assim,x é real se:
[tex3]\frac{8-4y}{y-3}\geq 0[/tex3]
[tex3]\rightarrow y\in [2,3)[/tex3]

Obs:dá para resolver tmb usando o delta!

Como sou besta, eu fiz por cálculo. Como é uma ferramenta útil em problemas mais complexos, eu vou deixar minha solução:
A função apresentada aparentemente possui uma assíntota horizontal. Nós podemos encontrá-la quando fizermos x tender a valores infinitamente grandes ou pequenos. Como temos [tex3]x^2[/tex3] , eu não me preocuparei em calcular dois limites laterais (10 milhões e -10 milhões dará a mesma coisa, por exemplo):
[tex3]\lim_{x\rightarrow\infty} (2+ \frac{x^2}{x^2+4}) = \lim_{x\rightarrow\infty} 2+ \lim_{x\rightarrow\infty} \frac{x^2}{x^2+4} = 2 +\frac{\infty}{\infty}[/tex3]
Como de praxe, eu fiz aparecer aquele infinito sobre infinito ali para mostrar uma indeterminação. Não vamos usar L'Hôpital. Vamos utilizar o artifício abaixo:
[tex3]\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{1}{x^{2n}} = 0[/tex3]
Desenvolvendo a função do limite:
[tex3]\frac{x^2}{x^2+4} = \frac{x^2}{x^2(1+\frac{4}{x^2})} = \frac{1}{1+\frac{4}{x^2}}[/tex3]
Aplicando no limite:
[tex3]\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{x^2}{x^2+4} = \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{1+\frac{4}{x^2}} = \frac{1}{1+0} = 1[/tex3]
Portanto, a nossa assíntota horizontal é [tex3]\lim_{x\rightarrow\infty} (2+ \frac{x^2}{x^2+4}) = 2 + 1 = 3[/tex3] . Isso significa que quando x cresce para mais ou menos infinito, a imagem tenderá a 3 (nunca será 3). Concluímos também que nosso conjunto imagem é limitado.
Agora resta encontrar o valor de máximo (ou de mínimo) da função proposta. Ele te dará o valor máximo (ou mínimo) que o conjunto imagem possui com a ressalva que pode ser um valor de máximo (ou de mínimo) global ou local:
[tex3]y = 2 + \frac{x^2}{x^2+4}\\
y' = \left(2 + \frac{x^2}{x^2+4}\right)' = \frac{2x(x^2+4)- x^2(2x)}{(x^2+4)^2} = \frac{8x}{(x^2+4)^2}[/tex3]
Vamos igualar a zero e encontrar o
[tex3]\frac{8x}{(x^2+4)^2} = 0 [/tex3]
Como [tex3]x^2+4[/tex3] não gera uma indeterminação:
[tex3]8x = 0\Longrightarrow x = 0 [/tex3]
Como temos um único valor, nós sabemos que é um ponto global. Verificamos agora se é um ponto de máximo ou de mínimo através de dois valores (um antes e outro depois de x):
[tex3]y' = \frac{8x}{(x^2+4)^2} \\
y'(2) = \frac{8\cdot 2}{(2^2+4)^2} = \frac{1}{4}[/tex3]
[tex3]y'(-2)= \frac{8\cdot(-2)}{((-2)^2+4)^2} = -\frac{1}{4}[/tex3]
É um ponto de mínimo. O que é esperado já que a assíntota não permitiria valores maiores que 3. Substituiremos agora o ponto x = 0 na função original:
[tex3]y = 2+ \frac{x^2}{x^2+4}\\
y(0) = 2+ \frac{0^2}{0^2+4} = 2[/tex3]
Portanto, a imagem é [2,3).

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