Ensino Médio ⇒ Função do Segundo Grau Tópico resolvido

[SenhorLion]

Encontre o domínio e a imagem da função:

[tex3]y = \frac{x+3}{4-\sqrt{x²-9}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y = \frac{x+3}{4-\sqrt{x²-9}}[/tex3]

Resolvi montando aquele varalzinho, mas não consegui chegar próximo do resultado.

Resposta:

Resposta

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Domínio:

[tex3](-\infty ,-5)\cup (-5,3 ]\cup[3,5)\cup (5,\infty ) [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](-\infty ,-5)\cup (-5,3 ]\cup[3,5)\cup (5,\infty ) [/tex3]

O exercício não pede a imagem, mas eu gostaria de saber pra aprender melhor.

[jvmago]

[tex3]y = \frac{x+3}{4-\sqrt{x²-9}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y = \frac{x+3}{4-\sqrt{x²-9}}[/tex3]

Encontremos o domínio dessa função
Observando o numerador, notamos que ele existe para qualquer [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

. já o denominador nos mostra 2 restrições:
[tex3]4-\sqrt{x²-9}\neq 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4-\sqrt{x²-9}\neq 0[/tex3]

[tex3]4\neq \sqrt{x²-9}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4\neq \sqrt{x²-9}[/tex3]

[tex3](I)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](I)[/tex3]

[tex3]x²-9\geq 0(II)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x²-9\geq 0(II)[/tex3]

Vamos as contas
[tex3]x^2-9\neq 16\rightarrow x\neq \pm 5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2-9\neq 16\rightarrow x\neq \pm 5[/tex3]

[tex3]x²-9\geq 0\rightarrow x\geq 3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x²-9\geq 0\rightarrow x\geq 3[/tex3]

ou [tex3]x\leq -3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\leq -3[/tex3]

Ora agora fica trivial

[tex3]S=]-\infty;-5[U]-5;-3]U[3;5[U]5;+\infty [ [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S=]-\infty;-5[U]-5;-3]U[3;5[U]5;+\infty [ [/tex3]

[jvmago]

Opa não vi que queria a imagem também

[jvmago]

[tex3]S=]-\infty;-5[U]-5;-3]U[3;5[U]5;+\infty [ [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S=]-\infty;-5[U]-5;-3]U[3;5[U]5;+\infty [ [/tex3]

[tex3]y = \frac{x+3}{4-\sqrt{x²-9}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y = \frac{x+3}{4-\sqrt{x²-9}}[/tex3]

Aplicandos os valores possíveis das restrições temos:

[tex3]x=5 \rightarrow y=\frac{8}{0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=5 \rightarrow y=\frac{8}{0}[/tex3]

e [tex3]x=-5\rightarrow y=\frac{-2}{0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=-5\rightarrow y=\frac{-2}{0}[/tex3]

ambos absurdos
[tex3]x=3\rightarrow y=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=3\rightarrow y=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}[/tex3]

[tex3]x=-3\rightarrow y=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=-3\rightarrow y=0[/tex3]

[tex3]Im=(-\infty ;0]U[\frac{3}{2};\infty )[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Im=(-\infty ;0]U[\frac{3}{2};\infty )[/tex3]

[jvmago]

Acho que agora não falta mais nada

[SenhorLion]

Me ajudou a entender bastante coisa. Muito obrigado!