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Mensagem não lidapor **Ronny** » Qua 28 Fev, 2018 20:25 · Mensagem não lida por **Ronny** » Qua 28 Fev, 2018 20:25

Verifique se constituem um subespaco vectorial o espaco dado:

[tex3]C=(x_{1};x_{2};x_{3};x_{4}) \in \mathbb{R}^4/x_{1}=x_{2}=x_{3}-x_{4} [/tex3]

Não possuo Gabarito

Temos um vetor do [tex3]\mathbb{R}^4[/tex3] .
Dado pela restrição [tex3]x_1=x_2=x_3-x_4[/tex3]

Logo: [tex3](x_1,x_2,x_3,x_4) = (x_3-x_4,x_3-x_4,x_3,x_4)[/tex3] vetores [tex3]C[/tex3] .

i) Verificamos a existência do elemento nulo:
Basta tomar: [tex3]x_3=x_4=0[/tex3] teremos [tex3](0,0,0,0)[/tex3] ...OK

i) Sejam qualquer [tex3]u,v \in C [/tex3] e [tex3]\lambda \in \mathbb{R}[/tex3] temos que provar que [tex3]u+\lambda v \in C[/tex3] .
Ou seja, o conjunto deve ser fechado pela soma e multiplicação por escalar.

Seja:
[tex3]u = (x_3-x_4,x_3-x_4,x_3,x_4)[/tex3]
[tex3]v = (x_3'-x_4', x_3'- x_4',x_3',x_4')[/tex3]

Logo:
[tex3]u+\lambda v = (x_3-x_4,x_3-x_4,x_3,x_4)+ (\lambda x_3'-\lambda x_4',\lambda x_3'-\lambda x_4',\lambda x_3',\lambda x_4')[/tex3]
[tex3]u+\lambda v = (x_3-x_4 + \lambda x_3'-\lambda x_4',x_3-x_4+\lambda x_3'-\lambda x_4',x_3+\lambda x_3',x_4+\lambda x_4')[/tex3]

Como a primeira coordenada é igual a segunda coordenada do vetor (respeitando a restrição) a terceira e quarta coordenada são livres no conjunto dos reais. Então [tex3]\boxed {u+\lambda v \in C}[/tex3]

Logo é C é S.V!

E ainda podemos achar o espaço gerado por C:
[tex3](x_3-x_4,x_3-x_4,x_3,x_4) = (x_3,x_3,x_3,0) + (-x_4, -x_4,0,x_4)=x_3(1,1,1,0) + x_4(-1,-1,0,1); \space x_3,x_4 \in \mathbb{R}[/tex3]

Claramente [tex3](1,1,1,0) \space [/tex3] e [tex3](-1,-1,0,1)[/tex3] é LI, portanto formam uma BASE para o S.V C.

Logo:
[tex3]C = span\{(-1,-1,0,1), \space (1,1,1,0) \}[/tex3]

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