Ensino Médio ⇒ Geometria Plana - Área Tópico resolvido

[GehSillva7]

Na figura abaixo, a circunferência que passa por D está tangente aos lados AB e BC do quadrado ABCD. Quanto mede a área hachurada, sabendo que o lado do quadrado mede 2?
Considere [tex3]\pi [/tex3]

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[tex3]\pi [/tex3]

= 3

Não possuo Gabarito

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[jvmago]

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Aplicando pitágoras no [tex3]\Delta KFE[/tex3]

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[tex3]\Delta KFE[/tex3]

teremos:
[tex3]r^2=2(4-4r+r^2)[/tex3]

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[tex3]r^2=2(4-4r+r^2)[/tex3]

[tex3]r^2-8r+8=0[/tex3]

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[tex3]r^2-8r+8=0[/tex3]

[tex3]\Delta =32[/tex3]

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[tex3]\Delta =32[/tex3]

[tex3]r=\frac{8\pm 4\sqrt{2}}{2}=4\pm 2\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]r=\frac{8\pm 4\sqrt{2}}{2}=4\pm 2\sqrt{2}[/tex3]

Observe que [tex3]r<2\rightarrow r=4-2\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]r<2\rightarrow r=4-2\sqrt{2}[/tex3]

Chamaremos de [tex3]S1[/tex3]

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[tex3]S1[/tex3]

a área inferior e [tex3]S2[/tex3]

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[tex3]S2[/tex3]

a duas áreas superiores.
[tex3]S1=r^2-\frac{\pi r^2}{4}=\frac{r^2}{4}(4-\pi )[/tex3]

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[tex3]S1=r^2-\frac{\pi r^2}{4}=\frac{r^2}{4}(4-\pi )[/tex3]

[tex3]S2=\frac{\pi r^2}{2}-\frac{2r*r}{2}=\frac{r^2}{2}(\pi -2)[/tex3]

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[tex3]S2=\frac{\pi r^2}{2}-\frac{2r*r}{2}=\frac{r^2}{2}(\pi -2)[/tex3]

[tex3]S1+S2=\frac{r^2}{2}(\pi -2)+\frac{r^2}{4}(4-\pi )[/tex3]

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[tex3]S1+S2=\frac{r^2}{2}(\pi -2)+\frac{r^2}{4}(4-\pi )[/tex3]

[tex3]S1+S2=\frac{r^2}{4}(2\pi +4-4-\pi )=\frac{\pi r^2}{4}[/tex3]

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[tex3]S1+S2=\frac{r^2}{4}(2\pi +4-4-\pi )=\frac{\pi r^2}{4}[/tex3]

[tex3]S1+S2=\frac{4(2-\sqrt{2})^2\pi }{4}=3(6-4\sqrt{2})=6(3-2\sqrt{2)}[/tex3]

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[tex3]S1+S2=\frac{4(2-\sqrt{2})^2\pi }{4}=3(6-4\sqrt{2})=6(3-2\sqrt{2)}[/tex3]