Ensino MédioCongruência Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

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menelaus
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Fev 2018 23 06:27

Congruência

Mensagem não lida por menelaus »

Prove que se [tex3]p[/tex3] e [tex3]q[/tex3] são primos, com [tex3]p\geq q\geq 5[/tex3] , então [tex3](p^2 - q^2) \equiv 0 (mod 24)[/tex3] .
Não possuo Gabarito





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Ittalo25
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Fev 2018 23 07:46

Re: Congruência

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Pelo pequeno teorema de Fermat:

[tex3]p^2- q^2 \equiv 1-1 \equiv 0 \mod(3) [/tex3]

Agora um fato: Se n é ímpar, então: [tex3]n^2 \equiv 1 \mod(8) [/tex3] .

A demonstração é simples, separe os números em: [tex3]\{8k+1, 8k+3,+8k+5,8k+7\} [/tex3] , eleve cada um deles ao quadrado e use congruência módulo 8.

Então com isso:

[tex3]p^2- q^2 \equiv 1-1 \equiv 0 \mod(8) [/tex3]

E como [tex3]mdc(3,8) = 1 [/tex3] , então:

[tex3](p^2- q^2)^2 \equiv 0 \mod(3 \cdot 8) [/tex3]
[tex3]p^2- q^2 \equiv 0 \mod(24) [/tex3]



Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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