Não possuo Gabarito
Ensino Médio ⇒ Congruência Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Fev 2018
23
06:08
Congruência
Seja [tex3]a[/tex3]
um número natural de [tex3]100[/tex3]
algarismos contendo um algarismo [tex3]"1"[/tex3]
, dois algarismos [tex3]"2"[/tex3]
, três algarismos [tex3]"3"[/tex3]
, quatro algarismos [tex3]"4"[/tex3]
, cinco algarismos [tex3]"5"[/tex3]
, seis algarismos [tex3]"6"[/tex3]
, sete algarismos [tex3]"7"[/tex3]
, oito algarismos [tex3]"8"[/tex3]
, nove algarismos [tex3]"9"[/tex3]
, e os demais algarismos são [tex3]"0"[/tex3]
. Esses cem algarismos podem estar distribuídos em qualquer ordem, desde que o primeiro algorismo (da esquerda para a direita) seja diferente de zero. Mostre que [tex3]a[/tex3]
não pode ser um quadrado perfeito.
Fev 2018
23
07:57
Re: Congruência
[tex3]1+2 \cdot 2+3\cdot 3+4\cdot 4+5\cdot 5+6\cdot 6+7\cdot 7+8\cdot 8+9\cdot 9 = 285[/tex3]
Ou seja, [tex3]a \equiv 6 \mod (9) [/tex3]
Vamos ver:
[tex3]x = 9k \rightarrow x^2 \equiv 0 \mod(9)[/tex3]
[tex3]x = 9k+1 \rightarrow x^2 \equiv 1 \mod(9)[/tex3]
[tex3]x = 9k+2 \rightarrow x^2 \equiv 4 \mod(9)[/tex3]
[tex3]x = 9k+3 \rightarrow x^2 \equiv 0 \mod(9)[/tex3]
[tex3]x = 9k+4 \rightarrow x^2 \equiv 7 \mod(9)[/tex3]
[tex3]x = 9k+5 \rightarrow x^2 \equiv 7 \mod(9)[/tex3]
[tex3]x = 9k+6 \rightarrow x^2 \equiv 0 \mod(9)[/tex3]
[tex3]x = 9k+7 \rightarrow x^2 \equiv 4 \mod(9)[/tex3]
[tex3]x = 9k+8 \rightarrow x^2 \equiv 1 \mod(9)[/tex3]
Então a não pode ser quadrado perfeito.
Ou seja, [tex3]a \equiv 6 \mod (9) [/tex3]
Vamos ver:
[tex3]x = 9k \rightarrow x^2 \equiv 0 \mod(9)[/tex3]
[tex3]x = 9k+1 \rightarrow x^2 \equiv 1 \mod(9)[/tex3]
[tex3]x = 9k+2 \rightarrow x^2 \equiv 4 \mod(9)[/tex3]
[tex3]x = 9k+3 \rightarrow x^2 \equiv 0 \mod(9)[/tex3]
[tex3]x = 9k+4 \rightarrow x^2 \equiv 7 \mod(9)[/tex3]
[tex3]x = 9k+5 \rightarrow x^2 \equiv 7 \mod(9)[/tex3]
[tex3]x = 9k+6 \rightarrow x^2 \equiv 0 \mod(9)[/tex3]
[tex3]x = 9k+7 \rightarrow x^2 \equiv 4 \mod(9)[/tex3]
[tex3]x = 9k+8 \rightarrow x^2 \equiv 1 \mod(9)[/tex3]
Então a não pode ser quadrado perfeito.
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
Fev 2018
24
13:37
Re: Congruência
Olá, Ittalo, não entendi o porque de elevar os casos ao quadrado prova que o número não pode ser quadrado perfeito.
Última edição: menelaus (Sáb 24 Fev, 2018 13:39). Total de 1 vez.
Fev 2018
24
20:11
Re: Congruência
Mostrei que os restos possíveis de um quadrado na divisão por 9 são: 0,1,4,7
mas a deixa resto 6 na divisão por 9
ou seja, a não pode ser quadrado perfeito
mas a deixa resto 6 na divisão por 9
ou seja, a não pode ser quadrado perfeito
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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