Ensino Médio ⇒ (FME) Polígonos Regulares Tópico resolvido

[MatheusBorges]

691. Quantas medidas, duas a duas diferentes, obtemos quando medimos as diagonais de um:
e) heptágono

Resposta

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[tex3]2[/tex3]

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[tex3]2[/tex3]

Boa noite pessoal, não estou entendendo o que é pra fazer. A questão tem várias alternativas, mas creio que se eu conseguir entender o que se pede já vai ser um grande passo para direcionar o pensamento na resolução. Então se puderem me explicar essa (a letra e) ) na prática (de forma explicativa ), vai ser de grande valia. Obrigado!

[joaopcarv]

Boa noite, MafIl10

Então, imagino que seja simplesmente isso [tex3]\Longrightarrow[/tex3]

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[tex3]\Longrightarrow[/tex3]

diagonaisdoheptagno.jpg (41.9 KiB) Exibido 3324 vezes

Para o heptágono regular, veja que há [tex3]\mathsf{2}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{2}[/tex3]

comprimentos diagonais diferentes que podemos traçar, e para provarmos isso ou simplesmente usamos a lei do cosseno, ou senão podemos contar a partir de quantos vértices do vértice que "saiu" uma ponta da diagonal vamos "fincar" a outra ponta da diagonal, ou seja, para as vermelhas são [tex3]\mathsf{2}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{2}[/tex3]

vértices e para as verdes são [tex3]\mathsf{3}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{3}[/tex3]

Se for isso mesmo, fiz outro exemplo para o hexágono regular [tex3]\Longrightarrow[/tex3]

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[tex3]\Longrightarrow[/tex3]

diagonaisdohexagono.jpg (36.76 KiB) Exibido 3324 vezes

[petras]

O número de diagonais com medidas duas a duas diferentes em um polígono regular de n lados, n ímpar, é dado por (n-3)/2 e para n par (n-2)/2.

Para o heptágono teremos (7-3)/2 = 2

De uma forma simples queremos determinar a partir de um um vértice quantas diagonais teremos com valores diferentes.

No anexo repare que temos as diagonais AE e AF diferentes entre si., A união de A com os demais vértices resulta em diagonais com medidas iguais às já obtidas

[MatheusBorges]

Sobre as diagonais vermelhas serem congruentes entre si e as verdes também, consegui visualizar.

Screenshot_2018-02-20-02-10-09~2.png (98.46 KiB) Exibido 3314 vezes

Em relação a terem medidas diferentes, estou com um "pulga" atrás da orelha...
[tex3]c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab.\cos \lambda [/tex3]

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[tex3]c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab.\cos \lambda [/tex3]

daqui que tira que [tex3]b\neq a[/tex3]

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[tex3]b\neq a[/tex3]

?
Como só tem letras fica difícil em afirmar tal coisa...Entendem minha dúvida?

[joaopcarv]

Eu entendo sim... pois bem, para que consigamos de forma plena visualizar que tais medidas são diferentes...

[tex3]\mathsf{\beta \ = \ \dfrac{(7 \ - \ 2) \ \cdot \ \pi}{7}} \ \rightarrow[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\beta \ = \ \dfrac{(7 \ - \ 2) \ \cdot \ \pi}{7}} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\mathsf{\beta \ = \ \dfrac{5 \ \cdot \ \pi}{7}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\beta \ = \ \dfrac{5 \ \cdot \ \pi}{7}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{2\cdot\alpha \ + \ \beta \ = \ \pi \ \rightarrow}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{2\cdot\alpha \ + \ \beta \ = \ \pi \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\alpha \ = \ \dfrac{\pi}{7}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\alpha \ = \ \dfrac{\pi}{7}}[/tex3]

Logo, [tex3]\mathsf{\psi \ = \ \dfrac{4 \ \cdot \ \pi}{7}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\psi \ = \ \dfrac{4 \ \cdot \ \pi}{7}}[/tex3]

Veja que, pela lei do cosseno, [tex3]\mathsf{b \ = \ c \cdot \sqrt{2 \ - \ 2\cdot \cos\bigg(\frac{5\cdot \pi}{7}\bigg)}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{b \ = \ c \cdot \sqrt{2 \ - \ 2\cdot \cos\bigg(\frac{5\cdot \pi}{7}\bigg)}}[/tex3]

Já [tex3]\mathsf{a \ = \ \sqrt{b^2 \ + \ c^2 \ - \ 2\cdot b\cdot c \ \cdot \ \cos\bigg(\frac{4\ \cdot \ \pi}{7}\bigg)}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{a \ = \ \sqrt{b^2 \ + \ c^2 \ - \ 2\cdot b\cdot c \ \cdot \ \cos\bigg(\frac{4\ \cdot \ \pi}{7}\bigg)}}[/tex3]

Não havendo equivalência entre esses ângulos, há de se ver que as medidas serão diferentes.

[petras]

Visualmente é fácil perceber que a > b mas se for apenas para tirar a "pulga" sobre o tamanho das diagonais, basta fazer a projeção de seu ponto C na reta que contem AB. Chamando de O este ponto, ele será perpendicular a reta AB e será a menor distância até a mesma. Aumentando-se o Ângulo aumenta-se o tamanho da distância a reta e como O^CB > O^CA concluímos que CB > CA

[MatheusBorges]

[tex3]\frac{(n-2)180}{n}=\frac{5.180}{7}[/tex3]

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[tex3]\frac{(n-2)180}{n}=\frac{5.180}{7}[/tex3]

[tex3]\beta=\frac{960}{7}[/tex3]

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[tex3]\beta=\frac{960}{7}[/tex3]

[tex3]2\alpha+\beta=180 [/tex3]

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[tex3]2\alpha+\beta=180 [/tex3]

[tex3]\alpha= \frac{360}{14}[/tex3]

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[tex3]\alpha= \frac{360}{14}[/tex3]

[tex3]\psi=\beta-\alpha=\frac{1560}{14}[/tex3]

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[tex3]\psi=\beta-\alpha=\frac{1560}{14}[/tex3]

[tex3]\lambda=\frac{360}{2.7} [/tex3]

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[tex3]\lambda=\frac{360}{2.7} [/tex3]

[tex3]A\hat B C=180-(\lambda+\psi)=\frac{600}{14}[/tex3]

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[tex3]A\hat B C=180-(\lambda+\psi)=\frac{600}{14}[/tex3]

Por desigualdade triangular as diagonais são diferentes.
Consegui pensar nisso ontem, mas a internet aqui está um lag (pelo cel funcionou, PC não). Não consegui nem responder o sousoeu no outro tópico.
Agradeço à todos pelo apoio!

[MatheusBorges]

Petras, genial! Agora que visualizei sua idéia (A essência). Fiz os outros exercícios rapidamente depois . É como se a cada vértice esticássemos uma perna do ângulo (e as desigualdades duas a duas aparecem) até o vértice do diâmetro se n for par e se n for ímpar um antes que não o passe. E o diâmetro da circunferência circunscrita espelha uma imagem idêntica no outro lado (não precisa contar duas vezes as desigualdes). Se n for par contamos a diagonal diâmetro como desigualdade se n for ímpar não tem!
Tive que comentar, sacada 10.