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Demonstração:
Suponhamos, por absurdo, que um determinado número n possua duas diferentes representações em uma determinada base b. Assim:
[tex3]n=a_nb^n+a_{n-1}b^{n-1}+...+a_2b^2+a_1b+a_0[/tex3]
[tex3]n=c_mb^m+c_{m-1}b^{m-1}+...+c_2b^2+c_1b+c_0[/tex3]
Logo: [tex3]a_nb^n+a_{n-1}b^{n-1}+...+a_2b^2+a_1b+a_0=c_mb^m+c_{m-1}b^{m-1}+...+c_2b^2+c_1b+c_0[/tex3]
[tex3]c_0-a_0=a_nb^n+a_{n-1}b^{n-1}+...+a_2b^2+a_1b-c_mb^m-c_{m-1}b^{m-1}-...-c_2b^2-c_1b[/tex3]
[tex3]c_0-a_0=b(a_nb^{n-1}+a_{n-1}b^{n-2}+...+a_2b^1+a_1-c_mb^{m-1}-c_{m-2}b^{m-1}-...-c_2b^1-c_1)[/tex3] [tex3]\rightarrow b|c_0-a_0[/tex3]
Entretanto como a0 e c0 são dígitos em base b tem-se que [tex3]0\leq a_0,c_0\leq b-1[/tex3], fazendo com que o intervalo de variação de c0-a0 obedeça o intervalo [tex3]-(b-1)\leq c_0-a_0\leq b-1[/tex3]. Neste intervalo o único número inteiro divisível por b é 0, ou seja, obrigatoriamente temos a0=c0.
Assim: [tex3]a_nb^{n-1}+a_{n-1}b^{n-2}+...+a_2b^1+a_1-c_mb^{m-1}-c_{m-2}b^{m-1}-...-c_2b^1-c_1=0[/tex3]
[tex3]c_1-a_1=a_nb^{n-1}+a_{n-1}b^{n-2}+...+a_2b-c_mb^{m-1}-c_{m-1}b^{m-2}-...-c_2b^1[/tex3]
[tex3]c_1-a_1=b(a_nb^{n-2}+a_{n-1}b^{n-3}+...+a_2-c_mb^{m-2}-c_{m-1}b^{m-3}-...-c_2)[/tex3][tex3]\rightarrow b|c_1-a_1[/tex3][tex3]\rightarrow a_1=c_1[/tex3]
Continuando com esse procedimento conclui-se que a2=c2, a3=c3,...
Assim, as duas representações são idênticas, implicando que existe somente uma maneira de representar um número em determinada base.
Alguém me explica a parte grifada?
Não possuo Gabarito
