Ensino MédioPolinômios Tópico resolvido

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mionsk
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Polinômios

Mensagem não lida por mionsk »

Após a determinação dos valores numéricos: P(-1), P(0) e P(1) , verifica-se que o polinômio P(x) = [tex3]x^{3}[/tex3] + [tex3]x^{2}[/tex3] - x - 0,5. tem:

A) Apenas uma raíz real.
B) Apenas duas raízes reais.
C) Três raízes reais, todas de mesmo sinal.
D) Três raízes reais, duas positivas e uma negativa.
E) Três raízes reais, duas negativas e uma positiva.

Resposta

RESP: E

Última edição: mionsk (Qua 14 Fev, 2018 08:42). Total de 1 vez.



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WagnerMachado
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Re: Polinômios

Mensagem não lida por WagnerMachado »

Aplicando o teorema de [tex3]Descartes[/tex3] ...
Diz que: Se os termos de um polinômio com coeficientes reais são colocados em ordem decrescente de grau, então o número de raízes positivas do polinômio é ou igual ao número de permutações de sinal ou menor por uma diferença par. Mais precisamente falando, o número de permutações é igual ao número de raízes positivas acrescido do número de raízes imaginárias (que sempre acontecem ao pares em polinômios de coeficientes reais).
Fonte (https://pt.wikipedia.org/wiki/Regra_dos ... _Descartes)
O polinômio [tex3]p(x)=x^3+x^2-x-0,5[/tex3] só possui uma variação de sinais do segundo termo[tex3](x^2)[/tex3] para o terceiro termo [tex3](-x)[/tex3] , ocasionando, então, pelo teorema: [tex3]\boxed{1\;raiz\;positiva}[/tex3]
Portanto, se eu tenho apenas uma raiz positiva, as outras duas são negativas.
Off Topic
Recomendação em vídeo para aplicação deste terorema:
https://www.youtube.com/watch?v=mZZaCIcvJPw

Última edição: WagnerMachado (Qua 14 Fev, 2018 12:17). Total de 3 vezes.


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Andre13000
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Re: Polinômios

Mensagem não lida por Andre13000 »

Basicamente o que o cara em cima quis dizer é o seguinte:

[tex3]P(-1)>0\\
P(0)<0\\
P(1)>0[/tex3]

Uma coisa é certa: entre P(-1) e P(0) tem uma raíz, e entre P(0) e P(1) tem outra, pois a função muda de sinal (você consegue enxergar por que isso é verdade?). A função cúbica tem no máximo 3 raízes. A terceira não pode ser depois que [tex3]x=1[/tex3] , pois [tex3]x^3+x^2>x+0.5[/tex3] . Mas se você fizer x bem negativo, [tex3]P(x)[/tex3] fica negativo, e daí você achou onde pode estar sua terceira raíz, pois temos [tex3]P(-1)>0[/tex3] , e depois [tex3]x<-1[/tex3] tal que [tex3]P(x)<0[/tex3] , a equação muda de sinal e deve haver uma raíz por ali.


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Movido de IME / ITA para Ensino Médio em Qui 15 Fev, 2018 12:28 por ALDRIN

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WagnerMachado
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Re: Polinômios

Mensagem não lida por WagnerMachado »

Andre13000 escreveu:
Qua 14 Fev, 2018 10:41
Basicamente o que o cara em cima quis dizer é o seguinte:

[tex3]P(-1)>0\\
P(0)<0\\
P(1)>0[/tex3]

Uma coisa é certa: entre P(-1) e P(0) tem uma raíz, e entre P(0) e P(1) tem outra, pois a função muda de sinal (você consegue enxergar por que isso é verdade?). A função cúbica tem no máximo 3 raízes. A terceira não pode ser depois que [tex3]x=1[/tex3] , pois [tex3]x^3+x^2>x+0.5[/tex3] . Mas se você fizer x bem negativo, [tex3]P(x)[/tex3] fica negativo, e daí você achou onde pode estar sua terceira raíz, pois temos [tex3]P(-1)>0[/tex3] , e depois [tex3]x<-1[/tex3] tal que [tex3]P(x)<0[/tex3] , a equação muda de sinal e deve haver uma raíz por ali.
Acho que seria o que Descartes quis dizer, haha.



Ressuscitado pela última vez por mionsk em Sáb 19 Mai, 2018 18:38.


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