Ensino Médio ⇒ Dedução de uma Soma de Três Termos elevado a um n qualquer
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jan 2018
30
08:59
Dedução de uma Soma de Três Termos elevado a um n qualquer
Gostaria de uma dedução de uma soma de 3 termos elevado a um n qualquer, por exemplo [tex3](x+y+z)^{3}[/tex3]
.Se Deus fizer, ele é Deus. Se não fizer, continua sendo Deus.
Fev 2018
10
02:21
Re: Dedução de uma Soma de Três Termos elevado a um n qualquer
Olá Oziel, bom dia.
Solução:
Basta escrever [tex3](x+y+z)=[(x+y)+z][/tex3] e usar o binômio de Newton:
[tex3][(x+y)+z]^3=\sum_{i=0}^{3}\binom{3}{i}(x+y)^{3-i}\cdot y^i=\binom{3}{0}\cdot(x+y)^3\cdot y^0+\binom{3}{1}\cdot(x+y)^2\cdot y^1+\binom{3}{2}\cdot(x+y)^1\cdot y^2+\binom{3}{3}\cdot(x+y)^0\cdot y^3[/tex3]
Agora é só terminar...
Solução:
Basta escrever [tex3](x+y+z)=[(x+y)+z][/tex3] e usar o binômio de Newton:
[tex3][(x+y)+z]^3=\sum_{i=0}^{3}\binom{3}{i}(x+y)^{3-i}\cdot y^i=\binom{3}{0}\cdot(x+y)^3\cdot y^0+\binom{3}{1}\cdot(x+y)^2\cdot y^1+\binom{3}{2}\cdot(x+y)^1\cdot y^2+\binom{3}{3}\cdot(x+y)^0\cdot y^3[/tex3]
Agora é só terminar...
"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".
Fev 2018
10
14:26
Re: Dedução de uma Soma de Três Termos elevado a um n qualquer
Tem como demonstrar isso usando apenas produtos notáveis ? É que ainda não estudei Binômio de Newton.
Se Deus fizer, ele é Deus. Se não fizer, continua sendo Deus.
Fev 2018
10
14:58
Re: Dedução de uma Soma de Três Termos elevado a um n qualquer
Usando só produtos notáveis:
[tex3](x+y+z)=[(x+y)+z][/tex3]
[tex3][(x+y)+z]^3=(x+y)^3+3\cdot(x+y)^2\cdot z+3\cdot(x+y)\cdot z^2+z^3\\
[(x+y)+z]^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3+3x^2z+6xyz+3y^2z+3xz^2+3yz^2+z^3\\
[(x+y)+z]^3=x^3+y^3+z^3+3x^2y+3xy^2+3x^2z+3xz^2+3y^2z+3yz^2+6xyz[/tex3]
[tex3](x+y+z)=[(x+y)+z][/tex3]
[tex3][(x+y)+z]^3=(x+y)^3+3\cdot(x+y)^2\cdot z+3\cdot(x+y)\cdot z^2+z^3\\
[(x+y)+z]^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3+3x^2z+6xyz+3y^2z+3xz^2+3yz^2+z^3\\
[(x+y)+z]^3=x^3+y^3+z^3+3x^2y+3xy^2+3x^2z+3xz^2+3y^2z+3yz^2+6xyz[/tex3]
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