Ensino Médio ⇒ (VIÇOSA) - Inequação

[Carolinethz]

(VIÇOSA) - Resolvendo a inequação (x² + 3x - 7).(3x - 5).(x² - 2x + 3) < 0, um aluno cancela o fator (x² - 2x + 3), transformando-a em (x² + 3x - 7).(3x - 5) < 0. Pode-se concluir que:
a) incorreto porque não houve inversão do sentido da desigualdade.
b) incorreto porque nunca podemos cancelar um termo que contenha a incógnita.
c) incorreta porque porque foi cancelado um trinômio do segundo grau.
d) correto porque o termo independente do trinômio cancelado é 3.
e) correto, pois (x²-2x+3) > 0, ∀x∈R

Resposta

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Letra E

OBS: Eu resolvi até chegar no estudo dos sinais de cada equação. Mas não estou conseguindo compreender e analisar cada alternativa do porque as outras estão erradas e a do gabarito estar correta. (Não estou questionando a alternativa do gabarito, só quero entender como analisar cada uma para que na hora da prova eu chegasse na alternativa correta.)

[GirardModerno]

Boa tarde,mutchatcha!
Um comentário: questão estranha! Mas vamos lá, eu fiz rapidinho aqui e grande parte do exercício é só dar uma boa analisada;conclui que o fator que o aluno cancela, independentemente do valor de x, sempre dará positivo, o que de certo modo não vai "influenciar" na análise que queremos obter ( < 0 ). E é a partir dessa afirmação que vamos para as alternativas, ou seja, vou lista-las pra melhor entendimento:

a) O que eu entendi dessa afirmativa é daquela parada de que quando multiplicamos por um número negativo a inequação, a boquinha do jacaré inverte,lembra?! Então, não faz sentido tal afirmação, já que ele apenas cancelou o termo...

b)Como assim NUNCA? Vejamos o problema, ele tá analisando "sinais", ele quer que dê um número menor do que zero, portanto, como dito no início, todos os valores daquele fator anulado, SEMPRE será positivo, ou seja, já posso desconsiderar ele e analisar os outros dois que serão os que me causarão problema ...

c) Vide a explicação do b

d) NÃO! É porque sempre será positivo!

e) Acertou! É a explicação que você vem dando desde lá de cima

OBS: Tentei ajudar aqui,não sei se está coerente, qlqr dúvida dá um grito aí ! Eu também fique confuso com o enunciado, portanto, posso ter falado alguma bobeira, algum equívoca,porém compartilho a ideia, VALEU ?!!

[csmarcelo]

As letras (b), (c) e (d) podem ser excluídas sem conta alguma.

b) incorreto porque nunca podemos cancelar um termo que contenha a incógnita.

É possível, por exemplo, cancelar fatores positivos sem problema algum.

c) incorreta porque porque foi cancelado um trinômio do segundo grau.

O tipo de polinômio é irrelevante.

d) correto porque o termo independente do trinômio cancelado é 3.

O valor do termo independente não determina se o fator é positivo ou não.

Agora, para as letras (a) e (e), precisamos analisar o polinômio.

a) incorreto porque não houve inversão do sentido da desigualdade.

A inversão pode (e deve) ocorrer apenas se o fator cancelado for negativo.

e) correto, pois [tex3](x²-2x+3)>0,\forall x\in R[/tex3]

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[tex3](x²-2x+3)>0,\forall x\in R[/tex3]

Da análise do polinômio, concluímos que, de fato, [tex3](x²-2x+3)>0,\forall x\in R[/tex3]

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[tex3](x²-2x+3)>0,\forall x\in R[/tex3]

. Com isso, a letra (a) também se mostra uma opção incorreta, pois, sendo o fator sempre positivo, não deve ocorrer a inversão da desigualdade.

[PedroCosta]

Você poderia reescrever a inequação assim:
[tex3]g(x)\cdot f(x) \cdot h(x) < 0 [/tex3]

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[tex3]g(x)\cdot f(x) \cdot h(x) < 0 [/tex3]

Suponha que [tex3]h(x) = 2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]h(x) = 2[/tex3]

. A função h é uma reta horizontal de y positivo [tex3]\forall x \in \mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]\forall x \in \mathbb{R}[/tex3]

. Poderíamos, então, sem prejuízo na solução retirar essa função da desigualdade:
[tex3]g(x)\cdot f(x) \cdot 2 < 0 \rightarrow g(x)\cdot f(x) < 0[/tex3]

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[tex3]g(x)\cdot f(x) \cdot 2 < 0 \rightarrow g(x)\cdot f(x) < 0[/tex3]

Mas e se a função h fosse uma reta horizontal abaixo do eixo x, isto é, uma reta com y negativo? Você tem que inverter a desigualdade:
[tex3]g(x)\cdot f(x) \cdot (-\alpha) < 0 \rightarrow g(x)\cdot f(x) > 0[/tex3]

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[tex3]g(x)\cdot f(x) \cdot (-\alpha) < 0 \rightarrow g(x)\cdot f(x) > 0[/tex3]

O que temos aqui é um caso parecido. Você tem uma função do segundo grau h(x). Para que não exista problema em retirar h(x) é preciso sacar que todos os valores dela são positivos ou negativos. Faça o delta e olhe o sinal do coeficiente de [tex3]x^2[/tex3]

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[tex3]x^2[/tex3]

:
[tex3]x² - 2x + 3 \\
\Delta = (-2)^2 - 4\cdot 1 \cdot 3 = -8
\\a > 0 \\ \therefore \boxed{\ y \in \mathbb{R}_{+}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x² - 2x + 3 \\
\Delta = (-2)^2 - 4\cdot 1 \cdot 3 = -8
\\a > 0 \\ \therefore \boxed{\ y \in \mathbb{R}_{+}}[/tex3]

Como é uma função positiva para todo x, então você pode retirar sem precisar inverter a desigualdade e sem prejuízo no conjunto solução.