Ensino Médio ⇒ (UF. VIÇOSA) Inequação Tópico resolvido

[Carolinethz]

(UF. VIÇOSA) - Assinale a falsa.

a) A sentença [tex3]\frac{(x^{2}+x+3)(x^{2}+4)}{x^{2}-5x+6}\leq [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(x^{2}+x+3)(x^{2}+4)}{x^{2}-5x+6}\leq [/tex3]

0 é equivalente a [tex3]x^2-5x+6<0[/tex3]

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[tex3]x^2-5x+6<0[/tex3]

b) A sentença [tex3]\frac{(-x^{2}-4)(x^{2}-9)}{x^{2}-1}[/tex3]

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[tex3]\frac{(-x^{2}-4)(x^{2}-9)}{x^{2}-1}[/tex3]

< 0 é equivalente a [tex3](x^{2}-1)(x^{2}-9) > 0[/tex3]

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[tex3](x^{2}-1)(x^{2}-9) > 0[/tex3]

.
c) Se [tex3]x^2-7x+6<0[/tex3]

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[tex3]x^2-7x+6<0[/tex3]

então [tex3]1\leq x\leq 6[/tex3]

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[tex3]1\leq x\leq 6[/tex3]

d) Se [tex3]x^2-4<0[/tex3]

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[tex3]x^2-4<0[/tex3]

então [tex3]-4 < x < 4[/tex3]

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[tex3]-4 < x < 4[/tex3]

e) Se [tex3]x^2-5x+4\leq 0[/tex3]

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[tex3]x^2-5x+4\leq 0[/tex3]

então [tex3]1 < x < 4[/tex3]

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[tex3]1 < x < 4[/tex3]

Resposta

---

Letra E

[MatheusBorges]

a)[tex3]\frac{(x^{2}+x+3)(x^{2}+4)}{x^{2}-5x+6}[/tex3]

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[tex3]\frac{(x^{2}+x+3)(x^{2}+4)}{x^{2}-5x+6}[/tex3]

Veja que no numerador temos dois termos nos quais ambos tem coeficiente angular postivo e delta negativo, logo indepedente do x o numerador será positivo portanto para a) ser negativa o denominador tem que ser negativo como foi sugerido pelo examinador.
b) [tex3]\frac{(-x^{2}-4)(x^{2}-9)}{x^{2}-1}=\frac{-1.(x^{2}+4)(x^{2}-9)}{x^{2}-1}=\frac{(x^{2}+4)(x^{2}-9)}{1-x^{2}}[/tex3]

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[tex3]\frac{(-x^{2}-4)(x^{2}-9)}{x^{2}-1}=\frac{-1.(x^{2}+4)(x^{2}-9)}{x^{2}-1}=\frac{(x^{2}+4)(x^{2}-9)}{1-x^{2}}[/tex3]

Veja que [tex3]x^{2}+4[/tex3]

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[tex3]x^{2}+4[/tex3]

é postivo para qualquer x pertencete aos reais logo , como o enunciado da b) diz que o numerador é positivo logo [tex3]x^{2}-9\geq 0\rightarrow x\leq -3\cup x\geq 3 [/tex3]

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[tex3]x^{2}-9\geq 0\rightarrow x\leq -3\cup x\geq 3 [/tex3]

, repare no denominador e veja que sempre que isso ocorrer teremos denominador negativo e portanto função negativa pois o numerador é positivo.
e)[tex3]x^{2}-5x+4=0\rightarrow x=1\cup x=4[/tex3]

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[tex3]x^{2}-5x+4=0\rightarrow x=1\cup x=4[/tex3]

coloquei direto, mas se você fizer por soma e produto ou por báskara encontrará o mesmo resultado. Como a f(x) tem que ser negativa vide enunciado e temos coeficiente angular positivo, portanto [tex3]1\leq x\leq 4[/tex3]

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[tex3]1\leq x\leq 4[/tex3]

, veja que [tex3]\leq \neq < [/tex3]

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[tex3]\leq \neq < [/tex3]

x=4 ou x=1 zera a f(x).

[Carolinethz]

a)[tex3]\frac{(x^{2}+x+3)(x^{2}+4)}{x^{2}-5x+6}[/tex3]

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[tex3]\frac{(x^{2}+x+3)(x^{2}+4)}{x^{2}-5x+6}[/tex3]

Veja que no numerador temos dois termos nos quais ambos tem coeficiente angular postivo e delta negativo, logo indepedente do x o numerador será positivo portanto para a) ser negativa o denominador tem que ser negativo como foi sugerido pelo examinador.
b) [tex3]\frac{(-x^{2}-4)(x^{2}-9)}{x^{2}-1}=\frac{-1.(x^{2}+4)(x^{2}-9)}{x^{2}-1}=\frac{(x^{2}+4)(x^{2}-9)}{1-x^{2}}[/tex3]

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[tex3]\frac{(-x^{2}-4)(x^{2}-9)}{x^{2}-1}=\frac{-1.(x^{2}+4)(x^{2}-9)}{x^{2}-1}=\frac{(x^{2}+4)(x^{2}-9)}{1-x^{2}}[/tex3]

Veja que [tex3]x^{2}+4[/tex3]

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[tex3]x^{2}+4[/tex3]

é postivo para qualquer x pertencete aos reais logo , como o enunciado da b) diz que o numerador é positivo logo [tex3]x^{2}-9\geq 0\rightarrow x\leq -3\cup x\geq 3 [/tex3]

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[tex3]x^{2}-9\geq 0\rightarrow x\leq -3\cup x\geq 3 [/tex3]

, repare no denominador e veja que sempre que isso ocorrer teremos denominador negativo e portanto função negativa pois o numerador é positivo.

Eu entendi o porque da alternativa e) estar correta mas não compreendi a explicação das anteriores. Sou péssima em matemática

[MatheusBorges]

Carolinethz, poderia especificar sua dúvida?

[petras]

Carolinethz,
São inequações quocientes, Você precisa estudar os sinais do numerador e do denominador para conseguir o sinal da desigualdade da expressão.

Basicamente você precisa saber quando uma fração pode ser [tex3]\leq 0[/tex3]

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[tex3]\leq 0[/tex3]

: [tex3]\left(\frac{+}{-}\right)~ou~\left(\frac{-}{+}\right)~ou~\frac{0}{(+~ou ~-)}[/tex3]

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[tex3]\left(\frac{+}{-}\right)~ou~\left(\frac{-}{+}\right)~ou~\frac{0}{(+~ou ~-)}[/tex3]

e o estudo de sinais de uma função quadrática [tex3]ax^2+bx+c[/tex3]

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[tex3]ax^2+bx+c[/tex3]

: Sendo x1 e x2 raízes:
Se a > 0: ++++++x1 -------- x2 ++++++
Se a < 0: ---------x1+++++++x2---------
Se [tex3]\Delta < 0[/tex3]

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[tex3]\Delta < 0[/tex3]

a função não terá raízes reais e sempre terá o mesmo sinal de a


Usualmente se monta o quadro de sinais para facilitar a visualização: Você calcula as raízes e identifica os sinais que a funçao pode assumir na reta.

Na letra a) temos:

[tex3]\frac{(x^{2}+x+3).(x^{2}+4)}{x^{2}-5x+6}\leq 0[/tex3]

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[tex3]\frac{(x^{2}+x+3).(x^{2}+4)}{x^{2}-5x+6}\leq 0[/tex3]

I)++++++++++++++++++++++++ [tex3]x^2+x+3 [/tex3]

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[tex3]x^2+x+3 [/tex3]

[tex3]Quando~ \Delta<0 ~\text{não temos raízes reais}. [/tex3]

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[tex3]Quando~ \Delta<0 ~\text{não temos raízes reais}. [/tex3]

Para qualquer valor de x a função será sempre positiva
II)++++++++++++++++++++++++ [tex3]x^2+4 [/tex3]

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[tex3]x^2+4 [/tex3]

[tex3]\Delta < 0: [/tex3]

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[tex3]\Delta < 0: [/tex3]

Para qualquer valor de x a função será sempre positiva
III)+++++++(2)--------(3)+++++++ [tex3]x^2-5x+6 [/tex3]

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[tex3]x^2-5x+6 [/tex3]

COmo está no denominador assumir o valor 0, ou seja não pode ser 2 ou 3
++++++(2)--------(3)++++++ Fazendo as operações [tex3]\frac{(I).(II)}{(III)}[/tex3]

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[tex3]\frac{(I).(II)}{(III)}[/tex3]

teremos como solução 2 < x < 3 que será a mesma solução se fizéssemos apenas o estudo de [tex3]x^2-5x+6 < 0 [/tex3]

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[tex3]x^2-5x+6 < 0 [/tex3]

que corresponde a III no estudo de sinais. Portanto são equivalentes (têm a mesma solução)

Na Letra b) De forma análoga a letra a)
[tex3]\frac{(-x^{2}-4)(x^{2}-9)}{x^{2}-1} < 0[/tex3]

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[tex3]\frac{(-x^{2}-4)(x^{2}-9)}{x^{2}-1} < 0[/tex3]

I) ------------------------------------------[tex3]-x^2-4[/tex3]

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[tex3]-x^2-4[/tex3]

II) ++++(-3)----------------------(3)++++[tex3]x^2-9[/tex3]

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[tex3]x^2-9[/tex3]

III)++++++++++(-1)------(1)+++++++++[tex3]x^2-1[/tex3]

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[tex3]x^2-1[/tex3]

------- (-3)++++(-1)-----(1)+++(3)------Fazendo as operações [tex3]\frac{(I).(II)}{(III)}[/tex3]

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[tex3]\frac{(I).(II)}{(III)}[/tex3]

teremos como solução x < -3 ou 1 < x < 3 ou x > 3

[tex3](x^{2}-1)(x^{2}-9) > 0[/tex3]

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[tex3](x^{2}-1)(x^{2}-9) > 0[/tex3]

I) ++++(-3)----------------------(3)++++[tex3]x^2-9[/tex3]

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[tex3]x^2-9[/tex3]

II)++++++++++(-1)------(1)+++++++++[tex3]x^2-1[/tex3]

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[tex3]x^2-1[/tex3]

++++++ (-3)----(-1)++++(1)----(3)++++Fazendo as operações [tex3]\frac{(I).(II)}{(III)}[/tex3]

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[tex3]\frac{(I).(II)}{(III)}[/tex3]

teremos como solução x < -3 ou 1 < x < 3 ou x > 3

Portanto como as duas soluções são iguais serão equivalentes.

Na letra c)
[tex3]x^2-7x+6<0[/tex3]

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[tex3]x^2-7x+6<0[/tex3]

Fazendo a análise de sinal
+++++(1)--------(6)++++ [tex3]1 < x < 6[/tex3]

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[tex3]1 < x < 6[/tex3]

precisa estar entre [tex3]1\leq x\leq 6[/tex3]

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[tex3]1\leq x\leq 6[/tex3]

Verdadeiro

Na letra d)
[tex3]x^2-4<0[/tex3]

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[tex3]x^2-4<0[/tex3]

Fazendo a análise de sinal
+++++(-2)--------(2)++++ [tex3]-2 < x < 2[/tex3]

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[tex3]-2 < x < 2[/tex3]

precisa estar entre [tex3]-4 < x < 4[/tex3]

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[tex3]-4 < x < 4[/tex3]

Verdadeiro

Na letra e)
[tex3]x^2-5x+4\leq 0[/tex3]

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[tex3]x^2-5x+4\leq 0[/tex3]

Fazendo análise de sinal
+++++[1]--------[4]++++ [tex3]1 \leq x \leq 4[/tex3]

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[tex3]1 \leq x \leq 4[/tex3]

precisa estar entre [tex3]1 < x < 4[/tex3]

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[tex3]1 < x < 4[/tex3]

Falso pois 1 e 4 pertencem ao intervalo solução e estão fora do intervalo 1 < x < 4