Ensino Médio ⇒ Propriedade dos números de Fibonacci Tópico resolvido

[OBMarcos]

Seja [tex3]F_n[/tex3]

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[tex3]F_n[/tex3]

o enésimo termo da sequência de Fibonacci. Mostre que
[tex3]\dfrac{F_n}{F_{n-1}}<1,7[/tex3]

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[tex3]\dfrac{F_n}{F_{n-1}}<1,7[/tex3]

Para todo natural [tex3]n>4[/tex3]

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[tex3]n>4[/tex3]

.
Se possível tente encontrar a resolução por indução, pois achei este probelma num artigo de tal.

[Andre13000]

Claro que é um problema que pode ser resolvido por indução, mas há um jeito muito barato de resolver em algumas linhas. É provável que eu poste outra solução mais tarde. Suponha que:

[tex3]S=F_0+F_1x+F_2x^2+\dots[/tex3]

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[tex3]S=F_0+F_1x+F_2x^2+\dots[/tex3]

Onde se entende que essa série se extende ao infinito.

A ideia é a seguinte:

[tex3]F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}[/tex3]

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[tex3]F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}[/tex3]

Perceba que essa relação está diretamente relacionada com a equação:

[tex3]x^2=x+1\\
x^{n+2}=x^{n+1}+x^n[/tex3]

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[tex3]x^2=x+1\\
x^{n+2}=x^{n+1}+x^n[/tex3]

Mas isso deixaremos para depois. Veja que

[tex3]S=\sum_{n=0}^\infty F_nx^n\\
xS=\sum_{n=0}^\infty F_nx^{n+1}=\sum_{n=1}F_{n-1}x^n\\
x^2S=\sum_{n=2}^\infty F_{n-2}x^n\\
F_{n}x^n=F_{n-1}x^n+F_{n-2}x^n\\
\sum_{n=2}^\infty F_nx^n=\sum_{n=2}^\infty F_{n-1}x^n+\sum_{n=2}^\infty F_{n-2}x^n\\
S-F_0-F_1x=xS-F_0x+x^2S\\
S(1-x-x^2)=0\\
S=\frac{1}{1-x-x^2}[/tex3]

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[tex3]S=\sum_{n=0}^\infty F_nx^n\\
xS=\sum_{n=0}^\infty F_nx^{n+1}=\sum_{n=1}F_{n-1}x^n\\
x^2S=\sum_{n=2}^\infty F_{n-2}x^n\\
F_{n}x^n=F_{n-1}x^n+F_{n-2}x^n\\
\sum_{n=2}^\infty F_nx^n=\sum_{n=2}^\infty F_{n-1}x^n+\sum_{n=2}^\infty F_{n-2}x^n\\
S-F_0-F_1x=xS-F_0x+x^2S\\
S(1-x-x^2)=0\\
S=\frac{1}{1-x-x^2}[/tex3]

Pelo método de Bernoulli, [tex3]\frac{F_{n+1}}{F_n}[/tex3]

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[tex3]\frac{F_{n+1}}{F_n}[/tex3]

converge à raíz de maior módulo da equação [tex3]x^2+x=1[/tex3]

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[tex3]x^2+x=1[/tex3]

. A partir daí basta observar que

[tex3]\frac{1+\sqrt{5}}{2}<1,7[/tex3]

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[tex3]\frac{1+\sqrt{5}}{2}<1,7[/tex3]

Claro que estou falando sobre um limite, mas facilmente você demonstra a proposição original como verdade notando que [tex3]F_{4}<1,7F_3[/tex3]

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[tex3]F_{4}<1,7F_3[/tex3]

e que [tex3]\frac{F_{n+1}}{F_n}[/tex3]

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[tex3]\frac{F_{n+1}}{F_n}[/tex3]

é estritamente descrecente.

[OBMarcos]

Muito obrigado, Euler!