Ensino Médio ⇒ (FME) Potência de ponto/Triângulo retângulo Tópico resolvido

[MatheusBorges]

Seja um ponto P, externo a uma circunferência. A menor distância desse ponto à circunferência vale 6 cm e a maior distância desse ponto à circunferência vale 24 cm. Determine o comprimento do segmento tangente à circunferência, tangente a este ponto.

Resposta

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12 cm

O que eu pensei, rs.

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Gabarito que achei no https://pir2.forumeiros.com/t58582-circunferencia

Screenshot_2018-01-03-14-19-19~2.jpg (27.53 KiB) Exibido 1131 vezes

Com o desenho até entendi o porque à maior distância conter o diâmetro, mas e por que a menor distância está contida na mesma reta em que o diâmetro se encontra ( ou seja onde está há a maior distância)?

[MatheusBorges]

Dei uma revisada no livro e encontre uma parte que fala sobre distância e projeção de segmentos. Ele demonstra essa propriedade:
Dois segmentos oblíquos de projeções não congruentes, o de maior projeção é o maior.

Screenshot_2018-01-03-16-24-38~2.jpg (27.75 KiB) Exibido 1125 vezes

Agora complicou mais ainda, como posso concluir que um segmento é maior ou menor se suas projeções nem estão contidas na mesma perpendicular?

[MatheusBorges]

Screenshot_2018-01-03-23-09-07~2.jpg (28.55 KiB) Exibido 1111 vezes

Rabiscando aqui, concluí que a menor distância de qualquer ponto a uma dada circunferência é um segmento de reta que encontra a reta tangente a circunferência e necessariamente faça parte da reta que o contém o diâmetro.
Porque se ele não fizer parte não é verdade, é se fizer pela idéia da hipotenusa ser maior que os catetos da para chegar à essa conclusão.
Já a maior distância desse ponto à circunferência, não caiu a ficha ainda...

[Auto Excluído (ID:12031)]

desigualdade.png (34.59 KiB) Exibido 1108 vezes

você já viu o teorema que diz que o maior lado de um triângulo é sempre oposto ao seu maior ângulo?
página 5 desse pdf (usa apenas a desigualdade triângular):
http://www.mat.ufmg.br/~elaine/especial ... aula03.pdf

basta aplicar esse teorema no triângulo ADC: o ângulo [tex3]\angle ADC > 90^{\circ}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle ADC > 90^{\circ}[/tex3]

( logo sempre é o caso que [tex3]AC>AD[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AC>AD[/tex3]

pra todo C na circunferência.
quanto o maior lado basta ligar C com E: o ângulo [tex3]\angle DCE = 90^{\circ}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle DCE = 90^{\circ}[/tex3]

logo o ângulo [tex3]\angle ACE >90[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle ACE >90[/tex3]

e de novo AE>AC pra todo C na circunferência!

[MatheusBorges]

sousóeu, Perfeito!
Não sei nem o que dizer hahaha
Muito obrigado!!!