DemonstraçõesDemonstração do Teorema de PTOLOMEU

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MatheusBorges
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Demonstração do Teorema de PTOLOMEU

Mensagem não lida por MatheusBorges »

Teorema de Ptolomeu:
Em um quadrilátero convexo inscritível, a soma dos produtos dos comprimentos dos lados opostos é igual ao produtos dos
comprimentos das diagonais

Hipótese o quadrilátero [tex3]ABCD[/tex3] é inscritível Tése [tex3]AB.CD+AD.BC=AC.BD[/tex3]
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Repare no ângulo [tex3]B\hat A C[/tex3] , agora traçamos uma reta suporte ao lado [tex3]\overline{DC}[/tex3] e tomamos um ponto E nesta reta, de forma que o ângulo[tex3]B\hat A C \equiv D\hat AE[/tex3] .
Repare também que, [tex3]C\hat BA\equiv A\hat DE[/tex3] , já que o ABCD é inscritível [tex3]A\hat BC+A\hat DC=180^{\circ}[/tex3] e [tex3]A\hat D E +A\hat D C=180^{\circ}\rightarrow A\hat DE \equiv C\hat BA [/tex3] .
Screenshot_2018-01-02-14-02-39~2.jpg
Screenshot_2018-01-02-14-02-39~2.jpg (22.25 KiB) Exibido 1344 vezes
Repare que [tex3]\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup ADE [/tex3] pelo caso de dois ângulos congruentes, desse modo [tex3]\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}\rightarrow AB.DE=AD.BC[/tex3] (1).
Veja que também que [tex3]A\hat BD \equiv A\hat C D[/tex3] pois ambos subtendem o mesmo arco AD. É fácil ver que [tex3]B\hat A D \equiv C\hat AE [/tex3] .
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Screenshot_2018-01-02-13-56-18~2.jpg (21.84 KiB) Exibido 1344 vezes
Logo:

[tex3]\bigtriangleup ABD \sim \bigtriangleup ACE\rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CE}=\frac{AD}{AE}[/tex3]
Assim, [tex3]AC.BD=AB.CE[/tex3]

Claro que: [tex3]CE=CD+DE\rightarrow AC.BD=AB.(CD+DE)\rightarrow AC.BD=AB.CD+AD.BC[/tex3]
De (1) [tex3]AB.BD=AB.CD+AD.BC[/tex3] , C.Q.D.

Última edição: MatheusBorges (Ter 02 Jan, 2018 15:12). Total de 2 vezes.


A alegria está na luta, na tentativa, no sofrimento envolvido e não na vitória propriamente dita.
-Mahatma Gandhi

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jvmago
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Mai 2020 23 09:21

Re: Demonstração do Teorema de PTOLOMEU

Mensagem não lida por jvmago »

Senhores moderadores, incluam esse tópicos mas demonstrações!!! Quase fiz de novo :lol::lol:



Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

Movido de Ensino Médio para Demonstrações em Sáb 23 Mai, 2020 09:30 por Jigsaw

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