Teorema de Ptolomeu:
Em um quadrilátero convexo inscritível, a soma dos produtos dos comprimentos dos lados opostos é igual ao produtos dos
comprimentos das diagonais
Hipótese o quadrilátero [tex3]ABCD[/tex3]
é inscritível Tése [tex3]AB.CD+AD.BC=AC.BD[/tex3]
Repare no ângulo [tex3]B\hat A C[/tex3]
, agora traçamos uma reta suporte ao lado [tex3]\overline{DC}[/tex3]
e tomamos um ponto E nesta reta, de forma que o ângulo [tex3]B\hat A C \equiv D\hat AE[/tex3]
.
Repare também que, [tex3]C\hat BA\equiv A\hat DE[/tex3]
, já que o ABCD é inscritível [tex3]A\hat BC+A\hat DC=180^{\circ}[/tex3]
e [tex3]A\hat D E +A\hat D C=180^{\circ}\rightarrow A\hat DE \equiv C\hat BA [/tex3]
.
Repare que [tex3]\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup ADE [/tex3]
pelo caso de dois ângulos congruentes, desse modo [tex3]\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}\rightarrow AB.DE=AD.BC[/tex3]
(1).
Veja que também que [tex3]A\hat BD \equiv A\hat C D[/tex3]
pois ambos subtendem o mesmo arco AD. É fácil ver que [tex3]B\hat A D \equiv C\hat AE [/tex3]
.
Logo:
[tex3]\bigtriangleup ABD \sim \bigtriangleup ACE\rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CE}=\frac{AD}{AE}[/tex3]
Assim, [tex3]AC.BD=AB.CE[/tex3]
Claro que: [tex3]CE=CD+DE\rightarrow AC.BD=AB.(CD+DE)\rightarrow AC.BD=AB.CD+AD.BC[/tex3]
De (1) [tex3]AB.BD=AB.CD+AD.BC[/tex3]
, C.Q.D.
Demonstrações ⇒ Demonstração do Teorema de PTOLOMEU
Moderador: [ Moderadores TTB ]
-
- Mensagens: 2047
- Registrado em: Dom 16 Jul, 2017 10:25
- Última visita: 05-04-24
Jan 2018
02
15:10
Demonstração do Teorema de PTOLOMEU
Última edição: MatheusBorges (Ter 02 Jan, 2018 15:12). Total de 2 vezes.
A alegria está na luta, na tentativa, no sofrimento envolvido e não na vitória propriamente dita.
-Mahatma Gandhi
-Mahatma Gandhi
Mai 2020
23
09:21
Re: Demonstração do Teorema de PTOLOMEU
Senhores moderadores, incluam esse tópicos mas demonstrações!!! Quase fiz de novo
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última msg
-
- 3 Respostas
- 916 Exibições
-
Última msg por FelipeMartin
-
- 0 Respostas
- 1437 Exibições
-
Última msg por FelipeMartin
-
- 0 Respostas
- 1210 Exibições
-
Última msg por FelipeMartin
-
- 1 Respostas
- 801 Exibições
-
Última msg por FelipeMartin
-
- 2 Respostas
- 426 Exibições
-
Última msg por AnthonyC