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495.B Determinar o valor de x nas figuras abaixo: Boa noite pessoal!
Estou com dúvida em relação a veracidade desse gabarito, vou relatar como fiz.
Prolonguei um dos lados do ângulo excêntrico exterior(o que contém o 2) fazendo com que a parte interna dele se torne o diâmetro da [tex3]\lambda(O,x)[/tex3]

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[tex3]\lambda(O,x)[/tex3]

. Assim encontrei:
[tex3]\frac{x}{2}=\frac{2x+2}{x}\rightarrow x^{2}-4x+4\rightarrow x=2[/tex3]

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[tex3]\frac{x}{2}=\frac{2x+2}{x}\rightarrow x^{2}-4x+4\rightarrow x=2[/tex3]

O que estou errando?

na verdade fica [tex3]x^2 - 4x-4=0[/tex3]

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[tex3]x^2 - 4x-4=0[/tex3]

Ele foi pela semelhança entre os triângulos retângulos que aparecem pelo o que eu entendi, no final da a mesma equação. A única coisa é que ele errou um sinal: x^2-4x-4=0 seria a equação correta, observe que você montou certinho na razão mas passou o sinal errado na hora da igualdade.

EDIT: Opa, você editou a mensagem

undefinied3, na verdade eu passei certo, postei errado e conseguia a proeza de -4.(-4)=-16. Uma hora olhando e não entendia o porque!
Fazê o que , muito obrigado pessoal!

Oi gente, o tópico já foi resolvido, mas vou deixar, respeitosamente, uma outra abordagem (algo como o que o undefinied3 falou).
Os segmentos de reta azuis são [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

e o vermelho é [tex3]2[/tex3]

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[tex3]2[/tex3]

(não quis denominar pontos porque nem é muito necessário aqui).
O segmento verde eu desenhei para ver se entendia o que você fez [tex3]\dots[/tex3]

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[tex3]\dots[/tex3]

mas pensei de outra forma.

Sendo a reta que contém [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

tangente a [tex3]\lambda[/tex3]

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[tex3]\lambda[/tex3]

, no ponto de tangência há uma perpendicularidade entre a reta e um segmento de raio [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

(como no anexo).

Veja que temos um triângulo retângulo isósceles de catetos [tex3]cat \ = \ x \ |u|[/tex3]

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[tex3]cat \ = \ x \ |u|[/tex3]

e [tex3]hip \ = \ (x \ + \ 2) \ |u|[/tex3]

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[tex3]hip \ = \ (x \ + \ 2) \ |u|[/tex3]

Para o [tex3]\triangle[/tex3]

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[tex3]\triangle[/tex3]

retângulo isósceles [tex3]\rightarrow [/tex3]

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[tex3]\rightarrow [/tex3]

[tex3]hip \ = \ cat \ \cdot \ \sqrt{2} \rightarrow[/tex3]

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[tex3]hip \ = \ cat \ \cdot \ \sqrt{2} \rightarrow[/tex3]

[tex3]x \ + \ 2 \ = \ x \ \cdot \ \sqrt{2} \ \rightarrow[/tex3]

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[tex3]x \ + \ 2 \ = \ x \ \cdot \ \sqrt{2} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]2 \ = \ x \ \cdot \ (\sqrt{2} \ - \ 1) \ \rightarrow[/tex3]

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[tex3]2 \ = \ x \ \cdot \ (\sqrt{2} \ - \ 1) \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]x \ = \ \dfrac{2}{(\sqrt{2} \ - \ 1)} \ \rightarrow[/tex3]

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[tex3]x \ = \ \dfrac{2}{(\sqrt{2} \ - \ 1)} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{x \ = \ 2 \ \cdot \ (\sqrt{2} \ + \ 1) \ |u|}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\boxed{x \ = \ 2 \ \cdot \ (\sqrt{2} \ + \ 1) \ |u|}}[/tex3]

Eu postei essa abordagem porque, aliás, não estou conseguindo enxergar como você fez

joaopcarv, você que me confundiu kkk. Não cheguei em triângulos retângulos ainda, mas obrigado pela resolução. O que veio a mente foi: Veja que o ângulo inscrito e o ângulo segmento subtendem o mesmo arco.
Na verdade o professor Iezzi tinha demonstrado a potência de ponto com esse raciocínio e eu a decorei.