[tex3]x^3+3x+1>0[/tex3]
Ao invés de resolver essa equação cúbica por esse seu método, eu preferi utilizar o método de Newton-Raphson. Claro, não será a raiz, mas dá para chegar bem perto disso. Pegando o inteiro mais próximo da raiz (zero nesse caso) e aplicando o método duas vezes cheguei em [tex3]-\frac{9}{28}[/tex3]
, que realmente dá bem perto da raiz, segundo o Wolfram Alpha.
Também posso afirmar que [tex3]x^3+3x+1[/tex3]
tem apenas uma raiz, pois derivando,
[tex3]3x^2+3[/tex3]
E procurando pela "volta" que o gráfico dá, cujo nome não me lembro,
[tex3]x=\sqrt{-1}[/tex3]
Isso nos diz que o gráfico não faz a "volta", e, sendo uma função de grau ímpar, ela tem pelo menos uma raiz, sendo nesse caso a única.
O WolframAlpha eu utilizo apenas pra me orientar e conferir os cálculos, os quais eu faço no papel mesmo.
Quanto às aproximações, optei por elas porque acho muito difícil conseguir um método que ache os intervalos
exatos de [tex3]k[/tex3]
. Passei o dia tentando, mas não consegui nada.
Bem, partindo das condições de existência como você começou (e que por sinal eu tinha esquecido de considerar ali em cima
),
[tex3]\log(x^4+1)=\log(kx)+\log(x^3+3x+1)[/tex3]
[tex3]\log(x^4+1)\implies \mbox{D}=\mathbb{R}[/tex3]
[tex3]\log(kx)\implies kx>0\begin{cases}k>0\iff x>0\\k<0\iff x<0\end{cases}[/tex3]
[tex3]\log(x^3+3x+1)\implies x>-\frac{9}{28}\mbox{(isso aqui é aproximado)}[/tex3]
Eu separei a equação em duas funções,
[tex3]f(x)=\log(x^4+1)\\g(x)=\log(kx)+\log(x^3+3x+1)[/tex3]
Para que haja raiz,
[tex3]f(x)=g(x)\\f(x)-g(x)=0[/tex3]
Eu pensei o seguinte: sendo fixo o gráfico da função [tex3]f(x)[/tex3]
, para um [tex3]k[/tex3]
pouco maior do que zero [tex3](\sim0,1)[/tex3]
, ela sempre ficará acima de [tex3]g(x)[/tex3]
, mas conforme eu for aumentando o valor de [tex3]k[/tex3]
a função vai subindo sem entortar. Então, se eu achar a coordenada de x onde essas duas funções são mais próximas, eu posso achar o menor valor positivo de [tex3]k[/tex3]
.
Aqui colocarei o valor de [tex3]k[/tex3]
como 1, mas é somente para facilitar o cálculo.
[tex3]\log(x^4+1)=\log(x)+\log(x^3+3x+1)\\\log\left(\frac{x^4+1}{x^4+3x^2+x}\right)=0[/tex3]
Agora eu iria derivar pra achar o ponto mais próximo entre as funções pra um valor de [tex3]k[/tex3]
em que as funcoes não se intersectariam. Pra [tex3]k=1[/tex3]
elas se intersectam (como mostrei no primeiro post), mas mesmo assim iremos achar o valor de x em que as funções [tex3]f(x)[/tex3]
e [tex3]g(x)[/tex3]
mais e aproximam (considerando a distância vertical entre elas).
Ao invés de derivar o log, eu vou "mexer" um pouco nessa equação e tirar a derivada desta, pois as raízes das duas serão as mesmas.
[tex3]\log\left(\frac{x^4+1}{x^4+3x^2+x}\right)=0\\\frac{x^4+1}{x^4+3x^2+x}-1=0[/tex3]
Derivando,
[tex3]\frac{6x^5+3x^4-4x^3-6x-1}{(x^4-3x^2+x)^2}[/tex3]
[tex3]\frac{6x^5+3x^4-4x^3-6x-1}{(x^4-3x^2+x)^2}=0\\6x^5+3x^4-4x^3-6x-1=0[/tex3]
Ao primeiro ver, os inteiros mais próximos das raízes supostamente seriam zero, 1 e -1. Porém, optarei pelo 1, pois mesmo o zero sendo mais próximo da raiz não posso utilizá-lo no denominador. E não utilizarei o -1 pois procuro uma raiz positiva, pra bater com a condição de existência, já que estabeleci um [tex3]k[/tex3]
positivo.
Pelo método de Newton-Raphson, (realmente desisti de achar o intervalo exato
)
[tex3]x_{n+1}=x_n-\frac{f(x)}{f'(x)}[/tex3]
Aplicando apenas uma vez chego à aproximação [tex3]\frac{13}{12}[/tex3]
. Não apliquei uma segunda vez pois daria bastante trabalho à mão. E, conforme o WolframAlpha, há apenas uma diferença de [tex3]\sim0,02[/tex3]
de uma das raízes.
O problema desse método é que não sei afirmar se essa seria a única raiz positiva, isto é, o único ponto e, caso houvesse outras raízes, o que apresenta a menor distância entre as duas funções. Mas dando uma "colada" no WolframAlpha dá para saber que é sim.
Então, o ponto que apresenta a menor distância entre as funções [tex3]f(x)[/tex3]
e [tex3]g(x)[/tex3]
seria perto de [tex3]x=\frac{13}{12}[/tex3]
. (Lembrando que é para um valor pequeno de k, entre 0 e 1, pois maior que isso as duas funções iriam se intersectar).
No momento estou pensando em um jeito de lidar com o [tex3]k[/tex3]
agora. Talvez tenha de ir testando, mas vou pensar.
Se alguém tiver alguma ideia ou outro caminho, ou mesmo tiver visto algum erro de cálculo ou algo assim nesse meu post, poste aqui por favor.
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