Ensino Médio

412. Seja ABC um triângulo acutângulo e [tex3]H_1[/tex3] , [tex3]H_2[/tex3] e [tex3]H_3[/tex3] os pés das alturas. Prove que o ortocentro [tex3]H[/tex3] do triângulo [tex3]ABC[/tex3] é o incentro do triângulo [tex3]H_1H_2H_3[/tex3] .

seja [tex3]H_1[/tex3] o pé da altura relacionada a A, [tex3]H_2[/tex3] a B e [tex3]H_3[/tex3] a C

[tex3]H_2[/tex3] e [tex3]H_3[/tex3] estão no arco de circunferência cujo diâmetro é BC. Pela propriedade do círculo de Arco-Capaz.

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repare que [tex3]\angle H_3H_2B = \angle H_3CB = 90-B[/tex3] já que o quadrilátero [tex3]BCH_2H_3[/tex3] é cíclico

como [tex3]\angle CH_2H_1 = \angle H_3H_2A = B[/tex3] (porque [tex3]\angle CH_2H_3 = 180 - B[/tex3] ) têm se que [tex3]\angle H_1H_2B = 90-B[/tex3] logo HB é bissetriz de [tex3]H_1H_2H_3[/tex3]
logo o ortocentro é o encontro das bissetrizes desse triângulo.

Não estou conseguindo visualizar [tex3]C\hat H_2H_1 \equiv\hat B[/tex3] poderia explicar?

quadrilátero [tex3]AH_2H_1B[/tex3] é cíclico, pela propriedade de Arco-capaz também. (Ou você pode pensar nos triângulos retângulos [tex3]H_2AB[/tex3] e [tex3]H_1AB[/tex3] que possuem mesma hipotenusa, logo o mesmo circuncentro que é o ponto médio da hipotenusa do triângulo retângulo, logo ABH1H2 estão na circunferência centrada no ponto médio de AB)

de onde [tex3]\angle AH_2H_1 = 180 - B[/tex3] e dai o ângulo que você apontou vale B

Já desenhei mas está muito difícil de entender. O mais difícil do FME até hoje.

você entendeu que AH2H1B é um quadrilátero cíclico (pelo mesmo motivo que CH2H3B) ? Porque é só isso que precisa, como ele é cíclico seus ângulos opostos somam 180 e AH2H1 é oposto ao ângulo B de ABC.

Veja que o resultado é que AH2H3, CH2H1, BH3H1 são todos semelhantes a ABC

Não entendi sousóeu. O professor Iezzi só demonstrou que a soma dos ângulos opostos de um quadrilátero deve ser 180 graus.
Vou descrever o que entendi.
[tex3]H_3\hat H_2B \equiv H_3\hat C B[/tex3] , arco capaz.
Supondo que o quadrilátero seja inscritível porque não entendi como você concluiu.
[tex3]H_3\hat H_2C +\hat B=180^{\circ}\rightarrow H_3\hat H_2C=180-\hat B[/tex3]
Vi também que [tex3]H_3\hat H_2C+ A \hat H_2H_3=180^{\circ}\rightarrow H_3\hat H_2C=180-A \hat H_2H_3[/tex3]
Percebi que o triângulo [tex3]AH_2H_3[/tex3] está divido em 2 congruentes.
Percebi que o triângulo [tex3]H_2H_3O[/tex3] está divido em dois triângulos isósceles sendo o o Ortocentro do triângulo ABC.
Estou na parte bem básica, era pra começar teorema de Tales hoje, talvez esse exercício seja pra um nível um pouco mais avançado.

Mestre, tem certeza que [tex3]BCH_2H_3[/tex3] é cíclico? Poderia explicar como chegou dedução?

Encontrei essa demonstração:
Fonte:http://www.obaricentrodamente.com/2015/ ... ticos.html

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Veja que assim posso concluir que os quadriláteros são inscritos pois temos dois ângulos retos e opostos(Das duas alturas) logo os a soma dos outros dois serão 180 graus. E utilizando o conceito de arco capaz podemos concluir que uma das alturas é bissetriz de uma dos ângulos do triângulo órtico. Fazendo com os outros lados concluímos a demonstração.
Essa deu pra enteder. Deve ser porque não consegui enxergar o porque [tex3]BCH_2H_3[/tex3] é cíclico. Sei que nesse quadrilátero tem dois ângulos retos devido ao ângulo inscrito numa semicircunferência e também tem 2 par de ângulos iguais devido ao arco capaz.

uau essa demonstração é melhor que a minha, mas sim o quadrilátero é sempre cíclico.

Um argumento é o de arco-capaz: [tex3]\angle BH_2C = \angle BH_3C[/tex3] o que significa necessariamente que [tex3]H_2[/tex3] e [tex3]H_3[/tex3] estão no arco-capaz que enxerga o segmento BC. O que garante que o quadrilátero é cíclico já que todos os pontos estão numa mesma circunferência.

Outro argumento é o do circuncentro do triângulo retângulo: O circuncentro é sempre o encontro das mediatrizes, quando um triângulo é retângulo é fácil ver que as mediatrizes dele se encontram no ponto médio da hipotenusa. Como os triângulos retângulos [tex3]BH_2C[/tex3] e [tex3]BH_3C[/tex3] possuem a mesma hipotenusa, eles possuem o mesmo circuncentro e mesmo raio de circunferência logo [tex3]BCH_2H_3[/tex3] está na circunferência centrada no ponto médio de BC passando por B e por C.

Logo esses quadriláteros são sempre inscritíveis!

Muito obrigado sousóeu!

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