Ensino Médio ⇒ Encontrar o valor do múltiplo Tópico resolvido

[lucrdjds]

população de Itapipoca era um quadrado perfeito. Depois, com um aumento de 100 habitantes, a população passou a ser uma unidade maior que um quadrado perfeito. Depois, com outro aumento de 100 habitantes, a população voltou a ser um quadrado perfeito. A população original era um múltiplo de:
a) 3 b) 7 c) 9 d) 11 e) 17

Eu fiz da seguinte forma:

[tex3]x^2+100=y^2+1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2+100=y^2+1[/tex3]

[tex3]x^2+200=z^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2+200=z^2[/tex3]

[tex3]x^2+100=y^2+1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2+100=y^2+1[/tex3]

[tex3]y^2-x^2=101[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y^2-x^2=101[/tex3]

[tex3](y+x).(y-x)=101. 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](y+x).(y-x)=101. 1[/tex3]

[tex3]\begin{cases}y+x=101\\y-x=1\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}y+x=101\\y-x=1\end{cases}[/tex3]

[tex3]x=50\\y=51[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=50\\y=51[/tex3]

Só que não deu certo, gostaria de saber onde errei.

[PedroCunha]

Boa tarde!

Você errou aqui:

[tex3]

x^2 + 100 = y^2 + 1 \therefore y^2 - x^2 = 101

[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]

x^2 + 100 = y^2 + 1 \therefore y^2 - x^2 = 101

[/tex3]

O correto é [tex3]y^2 -x^2 = 99 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y^2 -x^2 = 99 [/tex3]

, de onde segue que:

[tex3]

(y+x) \cdot (y-x) = 99 \cdot 1 \rightarrow \begin{cases} y+x = 99 \\ y-x = 1 \therefore y = x+1 \end{cases}

[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]

(y+x) \cdot (y-x) = 99 \cdot 1 \rightarrow \begin{cases} y+x = 99 \\ y-x = 1 \therefore y = x+1 \end{cases}

[/tex3]

e portanto [tex3]x = 49 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x = 49 [/tex3]

, o que implica em [tex3]P = 49^2 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P = 49^2 [/tex3]

, que é um múltiplo de 7.

Abraços,
Pedro.

[lucrdjds]

Ahh, claro. Muito obrigado!!

Abraços.