Ensino Médio ⇒ Equação trigonométrica Tópico resolvido

[Marinho]

Pessoal travei nessa questão, poderiam me explicar qual relação que será usada para resolve-lá?

Qual é a soma das raízes da equação [tex3]\sen^2(x)[/tex3]

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[tex3]\sen^2(x)[/tex3]

-2.[tex3]\cos^4(x)[/tex3]

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[tex3]\cos^4(x)[/tex3]

=0,
que estão no intervalo [0,2 [tex3]\pi [/tex3]

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[tex3]\pi [/tex3]

]?

[PedroCunha]

Bom dia!

[tex3]

\sin^2x - 2\cos^4x = 0 \therefore (1-\cos^2x) - 2\cos^4x = 0 \therefore 2\cos^4x + \cos^2x - 1 = 0

[/tex3]

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[tex3]

\sin^2x - 2\cos^4x = 0 \therefore (1-\cos^2x) - 2\cos^4x = 0 \therefore 2\cos^4x + \cos^2x - 1 = 0

[/tex3]

Fazendo [tex3]\cos^2x = k, k \in \mathbb{R} | 0 \leq k \leq 1 [/tex3]

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[tex3]\cos^2x = k, k \in \mathbb{R} | 0 \leq k \leq 1 [/tex3]

, temos:

[tex3]

2k^2 + k - 1 = 0 \therefore k = \frac{-1\pm 3}{4} \therefore k_0 = \frac{1}{2} \text{ ou } \cancel{k_1 = -1}

[/tex3]

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[tex3]

2k^2 + k - 1 = 0 \therefore k = \frac{-1\pm 3}{4} \therefore k_0 = \frac{1}{2} \text{ ou } \cancel{k_1 = -1}

[/tex3]

Assim:

[tex3]

\cos^2x = \frac{1}{2} \therefore \cos x = \pm \frac{\sqrt2}{2}

[/tex3]

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[tex3]

\cos^2x = \frac{1}{2} \therefore \cos x = \pm \frac{\sqrt2}{2}

[/tex3]

Portanto, as soluções são [tex3]S = \left\{ \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \right\} [/tex3]

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[tex3]S = \left\{ \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \right\} [/tex3]

.

Finalmente, a soma pedida é [tex3]\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + \frac{5\pi}{4} + \frac{7\pi}{4} = \boxed{\boxed{ 4\pi}} [/tex3]

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[tex3]\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + \frac{5\pi}{4} + \frac{7\pi}{4} = \boxed{\boxed{ 4\pi}} [/tex3]

.

Abraços,
Pedro.

[Marinho]

Amigo, eu não tenho muita vivencia em matemática.
Poderia me explicar essa passagem:

2k^(4) + k^(2) -1 = 0 Para 2k^(2)+k-1=0

[PedroCunha]

Bom dia!

Claro. Veja que tínhamos inicialmente

[tex3]

2\cos^4x + \cos^2x - 1 = 0

[/tex3]

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[tex3]

2\cos^4x + \cos^2x - 1 = 0

[/tex3]

, que nada mais é que uma equação bi-quadrada na variável [tex3]\cos x [/tex3]

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[tex3]\cos x [/tex3]

. Percebendo isso, fiz a substituição [tex3]\cos^2x = k, k \in \mathbb{R} | 0 \leq k \leq 1 [/tex3]

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[tex3]\cos^2x = k, k \in \mathbb{R} | 0 \leq k \leq 1 [/tex3]

, isto porque por ser igual à uma variável ao quadrado, [tex3]k [/tex3]

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[tex3]k [/tex3]

deve ser positivo e como [tex3]-1 \leq \cos x \leq 1 \rightarrow \cos^2x \leq 1 [/tex3]

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[tex3]-1 \leq \cos x \leq 1 \rightarrow \cos^2x \leq 1 [/tex3]

. Tendo feito essa mudança, a equação resultante passa a ser

[tex3]2k^2 + k - 1 =0 [/tex3]

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[tex3]2k^2 + k - 1 =0 [/tex3]

.

Se ainda restar alguma dúvida, não hesite em perguntar.

Abraços,
Pedro!

[Marinho]

Pedro, muito obrigado. Sua explicação é ótima e muito clara!

Abraços!