Ensino Médio ⇒ (PSC 2006) Números complexos Tópico resolvido

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50 - Sejam r e s as raízes no conjunto dos números
complexos da equação -2x²+x+4=0. Então r²+s² é
igual a:
a)-17/4
b)-15/4
c)17/4
d)15/4
e)1/2

[alevini98]

Pelas relações de Girard sabemos que:

[tex3]S=r+s\\P=rs[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S=r+s\\P=rs[/tex3]

Mas se fizermos:

[tex3]S^2=(r+s)^2\\S^2=r^2+s^2+2rs[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S^2=(r+s)^2\\S^2=r^2+s^2+2rs[/tex3]

[tex3]2P=2rs[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2P=2rs[/tex3]

Então,

[tex3]S^2-2P=r^2+s^2+2rs-2rs\\S^2-2P=r^2+s^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S^2-2P=r^2+s^2+2rs-2rs\\S^2-2P=r^2+s^2[/tex3]

Substituindo,

[tex3]\left(\frac{-1}{-2}\right)^2-2\left(\frac{4}{-2}\right)=r^2+s^2\\\frac{1}{4}+4\\\boxed{\frac{17}{4}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{-1}{-2}\right)^2-2\left(\frac{4}{-2}\right)=r^2+s^2\\\frac{1}{4}+4\\\boxed{\frac{17}{4}}[/tex3]