51. O resto da divisão do polinômio [tex3]p(x)[/tex3]
pelo produto [tex3](x-1)(x+1)(x+2)[/tex3]
, sendo 0, 4 e 6 os restos da divisão de [tex3]p(x)[/tex3]
por [tex3]x-1[/tex3]
, [tex3]x+1[/tex3]
e [tex3]x+2[/tex3]
, respectivamente é:
a) [tex3]r(x)=x^2-x+1[/tex3]
b) [tex3]r(x)=2x-2[/tex3]
c) [tex3]r(x)=x^2+1[/tex3]
d) [tex3]r(x)=-2x-2[/tex3]
e) [tex3]r(x)=x^2+x-1[/tex3]
Ensino Médio ⇒ Divisão de Polinômios
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PedroCunha
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Dez 2017
15
13:04
Re: Divisão de Polinômios
Bom dia!
Podemos escrever:
[tex3]
p(x) = Q(x) \cdot (x-1) \cdot(x+1) \cdot (x+2) + R(x)
[/tex3]
Como o divisor tem grau 3, o resto deve ter, no máximo, grau 2. Assim:
[tex3]
p(x) = Q(x) \cdot (x-1) \cdot (x+1) \cdot (x+2) + (ax^2+bx+c)
[/tex3]
Fazendo [tex3]x = 1 [/tex3] :
[tex3]
p(1) = Q(1) \cdot (1-1) \cdot (1+1) \cdot (1+2) + (a+b+c) \therefore a+b+c = 0 \dots I
[/tex3]
Fazendo [tex3]x = -1 [/tex3] :
[tex3]
p(-1) = Q(-1) \cdot (-1-1) \cdot (-1+1) \cdot (-1+2) + (a-b+c) \therefore a-b+c = 4 \dots II
[/tex3]
Fazendo [tex3]x = -2 [/tex3] :
[tex3]
p(-2) = Q(-2) \cdot (-2-1) \cdot (-2+1) \cdot (-2+2) + (4a-2b+c) \therefore 4a-2b+c = 6 \dots III
[/tex3]
Podemos montar o seguinte sistema então:
[tex3]
\begin{cases}
a+b+c = 0 \dots I \\ a-b+c = 4 \dots II \\ 4a-2b+c = 6 \dots III
\end{cases}
[/tex3]
Fazendo [tex3]I - II [/tex3] :
[tex3]
a+b+c -a+b-c = 0 -4 \therefore 2b = -4 \Leftrightarrow b = -2
[/tex3]
Fazendo [tex3]III-II [/tex3] :
[tex3]
4a-2b+c-a+b-c = 6-4 \therefore 3a - b = 2 \therefore 3a = 0 \Leftrightarrow a = 0
[/tex3]
Substituindo [tex3]a [/tex3] e [tex3]b [/tex3] em [tex3]I [/tex3] :
[tex3]
a+b+c = 0 \therefore c = -(a+b) \therefore c = -\left(0- 2 \right) = 2
[/tex3]
Logo,
[tex3]
\boxed{\boxed{ r(x) = -2x + 2 }}
[/tex3]
Poderia conferir as alternativas, por favor?
Abraços,
Pedro.
Podemos escrever:
[tex3]
p(x) = Q(x) \cdot (x-1) \cdot(x+1) \cdot (x+2) + R(x)
[/tex3]
Como o divisor tem grau 3, o resto deve ter, no máximo, grau 2. Assim:
[tex3]
p(x) = Q(x) \cdot (x-1) \cdot (x+1) \cdot (x+2) + (ax^2+bx+c)
[/tex3]
Fazendo [tex3]x = 1 [/tex3] :
[tex3]
p(1) = Q(1) \cdot (1-1) \cdot (1+1) \cdot (1+2) + (a+b+c) \therefore a+b+c = 0 \dots I
[/tex3]
Fazendo [tex3]x = -1 [/tex3] :
[tex3]
p(-1) = Q(-1) \cdot (-1-1) \cdot (-1+1) \cdot (-1+2) + (a-b+c) \therefore a-b+c = 4 \dots II
[/tex3]
Fazendo [tex3]x = -2 [/tex3] :
[tex3]
p(-2) = Q(-2) \cdot (-2-1) \cdot (-2+1) \cdot (-2+2) + (4a-2b+c) \therefore 4a-2b+c = 6 \dots III
[/tex3]
Podemos montar o seguinte sistema então:
[tex3]
\begin{cases}
a+b+c = 0 \dots I \\ a-b+c = 4 \dots II \\ 4a-2b+c = 6 \dots III
\end{cases}
[/tex3]
Fazendo [tex3]I - II [/tex3] :
[tex3]
a+b+c -a+b-c = 0 -4 \therefore 2b = -4 \Leftrightarrow b = -2
[/tex3]
Fazendo [tex3]III-II [/tex3] :
[tex3]
4a-2b+c-a+b-c = 6-4 \therefore 3a - b = 2 \therefore 3a = 0 \Leftrightarrow a = 0
[/tex3]
Substituindo [tex3]a [/tex3] e [tex3]b [/tex3] em [tex3]I [/tex3] :
[tex3]
a+b+c = 0 \therefore c = -(a+b) \therefore c = -\left(0- 2 \right) = 2
[/tex3]
Logo,
[tex3]
\boxed{\boxed{ r(x) = -2x + 2 }}
[/tex3]
Poderia conferir as alternativas, por favor?
Abraços,
Pedro.
"Por céus e mares eu andei, vi um poeta e vi um rei, na esperança de saber o que é o amor..."
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