Ensino Médio ⇒ Equação trigonométrica

[Hanon]

Calcule a menor solução positiva da equação
[tex3]\sen (nx)+\sen (nx-2x)=\cos x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen (nx)+\sen (nx-2x)=\cos x[/tex3]

. Se [tex3]n>\frac{4}{3}[/tex3]

EDIT em negrito "[tex3]n>\frac{4}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n>\frac{4}{3}[/tex3]

".

[Andre13000]

Podemos usar a fórmula: [tex3]\sen(n+1)x+\sen(n-1)x=2\sen nx\cos x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen(n+1)x+\sen(n-1)x=2\sen nx\cos x[/tex3]

[tex3]\sen nx+\sen(nx-2x)=2\sen (n-1)x\cos x=\cos x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen nx+\sen(nx-2x)=2\sen (n-1)x\cos x=\cos x[/tex3]

Então [tex3]\cos x=0\to x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos x=0\to x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/tex3]

e [tex3]\sen (n-1)x=\frac{1}{2}\to x=\frac{\pi}{6(n-1)}+\frac{2k\pi}{n-1}~;~x=\frac{5\pi}{6(n-1)}+\frac{2k\pi}{n-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen (n-1)x=\frac{1}{2}\to x=\frac{\pi}{6(n-1)}+\frac{2k\pi}{n-1}~;~x=\frac{5\pi}{6(n-1)}+\frac{2k\pi}{n-1}[/tex3]

Daí a menor solução vai depender de quem é n.

[Hanon]

Andre13000, perdão. Faltou colocar que [tex3]n>\frac{4}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n>\frac{4}{3}[/tex3]

.
Com relação ao fato de estar pedindo o menor valor possível não seria conveniente descartar os múltiplos desses ângulos?