Ensino Médio ⇒ Polígonos Regular

[IMP]

boa tarde preciso de ajuda na resolução deste exercício:

Pretende-se pavimentar uma sala com várias cópias de um polígono regular. Sabendo que os ângulos entre dois lados consecutivos de um polígono regular de n lados mede [tex3]\frac{n-2}{n}\pi[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{n-2}{n}\pi[/tex3]

(por exemplo, no pentágono regular é [tex3]\frac{3}{5}\pi[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3}{5}\pi[/tex3]

), indique, justificando sucintamente, os polígonos que podem ser usados, esboçando em cada caso uma pavimentação.

[alevini98]

Para que os polígonos possam ser utilizados em um piso, quando eles forem posicionados em torno de um lugar eles deverão fechar um ângulo de 360° a partir da soma de seus ângulos internos. Basicamente, [tex3]\frac{n-2}{n}\pi[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{n-2}{n}\pi[/tex3]

deve ser um divisor de [tex3]2\pi[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2\pi[/tex3]

. Logo,

[tex3]\frac{2\pi}{\frac{n-2}{n}\pi}\\\frac{2\pi n}{(n-2)\pi}\\\frac{2n}{n-2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2\pi}{\frac{n-2}{n}\pi}\\\frac{2\pi n}{(n-2)\pi}\\\frac{2n}{n-2}[/tex3]

O resultado deve pertencer ao conjunto dos números inteiros, se não seria preciso "partir" o polígono.

Então,

[tex3]\frac{2n}{n-2}\in~\mathbb{Z}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2n}{n-2}\in~\mathbb{Z}[/tex3]

A partir daqui não sei se precisa fazer algo mais . Só tem que garantir que n cumpra a condição acima.

[IMP]

obrigada pela ajuda , mas sabe me dizer que polígonos podem ser usados ?

[alevini98]

Sendo n o número de lados, os que iriam cumprir a condição acima seriam:

- triângulo;
- quadrado;
- hexágono.

Até esses que achei na fórmula, não sei dizer se há outros com um maior número de lados.

[IMP]

obrigada Pela ajuda !

[csmarcelo]

Até esses que achei na fórmula, não sei dizer se há outros com um maior número de lados.

Não há. Quanto maior o número de lados, maior a medida do ângulo interno e, portanto, menor o número de cópias necessárias para se fechar o círculo. Cada um dos ângulos internos de um hexágono possui 120 graus. Assim, são necessários 3 hexágonos para fechar o círculo. Repare que, então, o próximo polígono deveria precisar de menos de 3 cópias, mas, para tal, o ângulo interno precisaria medir, pelo menos, 180 graus, o que é um absurdo.