Ensino Médio ⇒ (Unicamp-SP) Lei dos senos-cossenos Tópico resolvido

[vitorPQDT]

Sejam A,B e C pontos de uma circunferência, tais que AB= 2 km, BC= 1 km e a medida do angulo B seja de 135º .Calcule o raio dessa circunferência.

[alevini98]

Posicionando os pontos A, B e C na circunferência pode-se perceber que, se [tex3]\widehat{B}=135^°[/tex3]

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[tex3]\widehat{B}=135^°[/tex3]

, então o arco AC, em sua maior medida, sem passar por B, mede 270°. A partir disso, podemos reparar que o triângulo AOC é retângulo em O e que [tex3]OA=OC=R[/tex3]

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[tex3]OA=OC=R[/tex3]

.

Então, calculando a medida do segmento AC, formado o triângulo ABC,

[tex3]AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos\widehat{B}\\AC^2=2^2+1^2-2\cdot2\cdot1\cdot\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)\\AC^2=5+2\sqrt2[/tex3]

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[tex3]AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos\widehat{B}\\AC^2=2^2+1^2-2\cdot2\cdot1\cdot\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)\\AC^2=5+2\sqrt2[/tex3]

Fazendo Pitágoras com o triângulo AOC,

[tex3]OC^2+OA^2=AC^2\\R^2+R^2=5+2\sqrt2\\R^2=\frac{5}{2}+\sqrt2\\R=\sqrt{\frac{5}{2}+\sqrt2}[/tex3]

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[tex3]OC^2+OA^2=AC^2\\R^2+R^2=5+2\sqrt2\\R^2=\frac{5}{2}+\sqrt2\\R=\sqrt{\frac{5}{2}+\sqrt2}[/tex3]

[petras]

A medida de um ângulo inscrito é a metade da medida do arco correspondente [tex3]\rightarrow ADC = 135^o.2 = 270^o[/tex3]

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[tex3]\rightarrow ADC = 135^o.2 = 270^o[/tex3]

[tex3]\alpha =360^o - 270^o = 90^o\\
\Delta _{ABC}\rightarrow AC^2=R^2+R^2\rightarrow AC^2=2R^2\\\
AC^2 = 1^2+2^2-2.1.2.cos135^o=5-4.(-\frac{\sqrt{2}}{2})=5+2\sqrt{2}\\\
\therefore 2R^2=5+2\sqrt{2}\rightarrow \boxed{\boxed{ {{R=\sqrt{\frac{5+2\sqrt{2}}{2}}}}}}[/tex3]

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[tex3]\alpha =360^o - 270^o = 90^o\\
\Delta _{ABC}\rightarrow AC^2=R^2+R^2\rightarrow AC^2=2R^2\\\
AC^2 = 1^2+2^2-2.1.2.cos135^o=5-4.(-\frac{\sqrt{2}}{2})=5+2\sqrt{2}\\\
\therefore 2R^2=5+2\sqrt{2}\rightarrow \boxed{\boxed{ {{R=\sqrt{\frac{5+2\sqrt{2}}{2}}}}}}[/tex3]