Ensino Médio ⇒ (PSC 2017) Interseção de Reta com Elipse Tópico resolvido

[12345]

50. Considere a reta [tex3]-x+y=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-x+y=0[/tex3]

e a elipse dada por [tex3]x^2 + 8y^2=4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2 + 8y^2=4[/tex3]

representadas na figura a seguir. A distância entre A e B, pontos de interseção da reta com a elipse na figura a seguir deve ser:

52.png (30.04 KiB) Exibido 2504 vezes

[petras]

reta: [tex3]y = x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y = x[/tex3]

Interseção da reta com a elipse:

imag.jpg (20.56 KiB) Exibido 2494 vezes

[tex3]x^2+8x^2=4\rightarrow 9x^2=4\rightarrow x=+/-\sqrt{\frac{4}{9}}=+/-\frac{2}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2+8x^2=4\rightarrow 9x^2=4\rightarrow x=+/-\sqrt{\frac{4}{9}}=+/-\frac{2}{3}[/tex3]

[tex3]\Delta_{ABC}\rightarrow AB^2=AC^2+BC^2\rightarrow AB=\sqrt{\(\frac{4}{3}\)^2+\(\frac{4}{3}\)^2}=\sqrt{\frac{32}{9}}=\frac{4\sqrt{2}}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta_{ABC}\rightarrow AB^2=AC^2+BC^2\rightarrow AB=\sqrt{\(\frac{4}{3}\)^2+\(\frac{4}{3}\)^2}=\sqrt{\frac{32}{9}}=\frac{4\sqrt{2}}{3}[/tex3]

letra C

[Polímero17]

petras sobre a reta vertical que traçou como vc descobriu a equação dela, não conhecendo as coordenadas os dois pontos?e porque vc fez a soma: [tex3]x^2+8x^2=4\rightarrow 9x^2=4\rightarrow x=+/-\sqrt{\frac{4}{9}}=+/-\frac{2}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2+8x^2=4\rightarrow 9x^2=4\rightarrow x=+/-\sqrt{\frac{4}{9}}=+/-\frac{2}{3}[/tex3]

?

[lookez]

petras sobre a reta vertical que traçou como vc descobriu a equação dela, não conhecendo as coordenadas os dois pontos?e porque vc fez a soma: [tex3]x^2+8x^2=4\rightarrow 9x^2=4\rightarrow x=+/-\sqrt{\frac{4}{9}}=+/-\frac{2}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2+8x^2=4\rightarrow 9x^2=4\rightarrow x=+/-\sqrt{\frac{4}{9}}=+/-\frac{2}{3}[/tex3]

?

Essa equação é justamente a interseção da reta dada com a elipse, que resulta na abscissa dos pontos A e B, agora substituindo na equação da reta original você acha a ordenada, que será igual pois é a reta y = x, bissetriz dos quadrantes ímpares. Para a reta vertical, sabemos que a equação vai ser da forma x = k, basta substituir k pela abscissa de qualquer ponto sobre ela, no caso o ponto A.

[petras]

Polímero17, o colega lookez, já respondeu. Se ainda estiver com dúvidas não hesite em perguntar.

[Polímero17]

Olá petras, boa noite!
Eu realmente tinha dúvida em como poderia encontrar a equação da reta da mesma que intersecta a elipse. Mas acabei encontrando a resposta pouco depois de ter postado a pergunta, afinal o cálculo pra encontra-la é bastante simples (através do determinante e tudo mais...), foi falta de atenção.
Valeu pelo incentivo, não hesitarei nas minhas perguntas.Sucesso!

[Albe]

Então, sendo a reta x=y coincidente em 2 pontos com a elipse, basta apenas substituir o x na equação da elipse. Assim, encontrar-se-ão as coordenadas de A(2/3,2/3) e B = (-2/3,-2/3). Feito isso, basta calcular a distância entre os pontos A e B, certo?