Ensino Médio(PSC 2017) Interseção de Reta com Elipse Tópico resolvido

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12345
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(PSC 2017) Interseção de Reta com Elipse

Mensagem não lida por 12345 »

50. Considere a reta [tex3]-x+y=0[/tex3] e a elipse dada por [tex3]x^2 + 8y^2=4[/tex3] representadas na figura a seguir. A distância entre A e B, pontos de interseção da reta com a elipse na figura a seguir deve ser:
52.png
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petras
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Re: (PSC 2017) Interseção de Reta com Elipse

Mensagem não lida por petras »

reta: [tex3]y = x[/tex3]
Interseção da reta com a elipse:
imag.jpg
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[tex3]x^2+8x^2=4\rightarrow 9x^2=4\rightarrow x=+/-\sqrt{\frac{4}{9}}=+/-\frac{2}{3}[/tex3]

[tex3]\Delta_{ABC}\rightarrow AB^2=AC^2+BC^2\rightarrow AB=\sqrt{\(\frac{4}{3}\)^2+\(\frac{4}{3}\)^2}=\sqrt{\frac{32}{9}}=\frac{4\sqrt{2}}{3}[/tex3]

letra C




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Polímero17
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Re: (PSC 2017) Interseção de Reta com Elipse

Mensagem não lida por Polímero17 »

petras sobre a reta vertical que traçou como vc descobriu a equação dela, não conhecendo as coordenadas os dois pontos?e porque vc fez a soma: [tex3]x^2+8x^2=4\rightarrow 9x^2=4\rightarrow x=+/-\sqrt{\frac{4}{9}}=+/-\frac{2}{3}[/tex3] ?



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lookez
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Re: (PSC 2017) Interseção de Reta com Elipse

Mensagem não lida por lookez »

Polímero17 escreveu:
Sáb 14 Set, 2019 14:42
petras sobre a reta vertical que traçou como vc descobriu a equação dela, não conhecendo as coordenadas os dois pontos?e porque vc fez a soma: [tex3]x^2+8x^2=4\rightarrow 9x^2=4\rightarrow x=+/-\sqrt{\frac{4}{9}}=+/-\frac{2}{3}[/tex3] ?
Essa equação é justamente a interseção da reta dada com a elipse, que resulta na abscissa dos pontos A e B, agora substituindo na equação da reta original você acha a ordenada, que será igual pois é a reta y = x, bissetriz dos quadrantes ímpares. Para a reta vertical, sabemos que a equação vai ser da forma x = k, basta substituir k pela abscissa de qualquer ponto sobre ela, no caso o ponto A.
Última edição: lookez (Sáb 14 Set, 2019 15:13). Total de 1 vez.



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petras
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Re: (PSC 2017) Interseção de Reta com Elipse

Mensagem não lida por petras »

Polímero17, o colega lookez, já respondeu. Se ainda estiver com dúvidas não hesite em perguntar.
Última edição: petras (Qua 27 Nov, 2019 00:15). Total de 1 vez.



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Polímero17
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Re: (PSC 2017) Interseção de Reta com Elipse

Mensagem não lida por Polímero17 »

Olá petras, boa noite!
Eu realmente tinha dúvida em como poderia encontrar a equação da reta da mesma que intersecta a elipse. Mas acabei encontrando a resposta pouco depois de ter postado a pergunta, afinal o cálculo pra encontra-la é bastante simples (através do determinante e tudo mais...), foi falta de atenção.
Valeu pelo incentivo, não hesitarei nas minhas perguntas.Sucesso!



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Albe
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Re: (PSC 2017) Interseção de Reta com Elipse

Mensagem não lida por Albe »

Então, sendo a reta x=y coincidente em 2 pontos com a elipse, basta apenas substituir o x na equação da elipse. Assim, encontrar-se-ão as coordenadas de A(2/3,2/3) e B = (-2/3,-2/3). Feito isso, basta calcular a distância entre os pontos A e B, certo?




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