Ensino Médio ⇒ (PSC 2017) Raízes de Polinômio de Terceiro Grau Tópico resolvido

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Se [tex3]\alpha[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha[/tex3]

, [tex3]\beta[/tex3]

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[tex3]\beta[/tex3]

e [tex3]\gamma[/tex3]

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[tex3]\gamma[/tex3]

são as raízes da equação [tex3]x^3-3x^2-17x+3=0[/tex3]

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[tex3]x^3-3x^2-17x+3=0[/tex3]

, então [tex3]\alpha^2+\beta^2+\gamma^2[/tex3]

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[tex3]\alpha^2+\beta^2+\gamma^2[/tex3]

e [tex3]\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}[/tex3]

devem ser, respectivamente:

a) 10 e 2
b) 30 e 7
c) 36 e -3
d) 43 e 17/3
e) 51 e -1/2

[jomatlove]

Resolucao
Por Girard:
[tex3]\alpha +\beta +\gamma =3[/tex3]

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[tex3]\alpha +\beta +\gamma =3[/tex3]

[tex3]\alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma=-17 [/tex3]

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[tex3]\alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma=-17 [/tex3]

[tex3]\alpha \beta \gamma =-3[/tex3]

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[tex3]\alpha \beta \gamma =-3[/tex3]

Entao:
[tex3]\bullet \alpha ^{2}+\beta ^{2}+
\gamma ^{2}=(\alpha +\beta +\gamma )^{2}-2( \alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma) [/tex3]

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[tex3]\bullet \alpha ^{2}+\beta ^{2}+
\gamma ^{2}=(\alpha +\beta +\gamma )^{2}-2( \alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma) [/tex3]

[tex3]\alpha ^{2}+\beta ^{2}+
\gamma ^{2}=3^{2}-2(-17)=43[/tex3]

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[tex3]\alpha ^{2}+\beta ^{2}+
\gamma ^{2}=3^{2}-2(-17)=43[/tex3]

[tex3]\bullet \frac{1}{\alpha }+
\frac{1}{\beta }+\frac{1}{\gamma }=\frac{\alpha \beta +\alpha \gamma+\beta \gamma }{\alpha \beta \gamma }=\frac{-17}{-3}=\frac{17}{3}[/tex3]

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[tex3]\bullet \frac{1}{\alpha }+
\frac{1}{\beta }+\frac{1}{\gamma }=\frac{\alpha \beta +\alpha \gamma+\beta \gamma }{\alpha \beta \gamma }=\frac{-17}{-3}=\frac{17}{3}[/tex3]