Ensino Médio ⇒ (PSC 2017) Números Complexos Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Nov 2017
29
13:15
(PSC 2017) Números Complexos
51. Consideremos os seguintes números complexos:
z = 2 (cos 30º + i sen 30º) e
w = cos 120º + i sen 120º
Calculando [tex3]z^{12}\cdot w^{12}[/tex3] , devemos obter:
a) i
b) 0
c) 1
d) [tex3]2^{12}[/tex3]
e) [tex3]2^{12}[/tex3]
z = 2 (cos 30º + i sen 30º) e
w = cos 120º + i sen 120º
Calculando [tex3]z^{12}\cdot w^{12}[/tex3] , devemos obter:
a) i
b) 0
c) 1
d) [tex3]2^{12}[/tex3]
e) [tex3]2^{12}[/tex3]
Nov 2017
29
13:22
Re: (PSC 2017) Números Complexos
Poderia redigitar? Não está aparecendo alguns dígitos do enunciado.
Nov 2017
29
13:29
Re: (PSC 2017) Números Complexos
CONSIDEREMOS OS SEGUINTES NUMEROS COMPLEXOS:
Z=2(COS 30°+I SEN 30°) E
W=COS 120°+I SEN 120°
CALCULANDO Z^12 * W^12, DEVEMOS OBTER:
A)i
B)0
C)1
D)2^12
E)2^24
Z=2(COS 30°+I SEN 30°) E
W=COS 120°+I SEN 120°
CALCULANDO Z^12 * W^12, DEVEMOS OBTER:
A)i
B)0
C)1
D)2^12
E)2^24
Nov 2017
29
13:46
Re: (PSC 2017) Números Complexos
[tex3]z^{12}=2^{12}(\cos30\cdot12+i\cdot\sen30\cdot12)\\
z^{12}=2^{12}(\cos360+i\cdot\sen360)\\
z^{12}=2^{12}(1+i\cdot0)\\
z^{12}=2^{12}[/tex3]
[tex3]w^{12}=1^{12}(\cos120\cdot12+i\sen120\cdot12)\\
w^{12}=\cos1440+i\sen1440\\
\boxed{1440°\to0^°}\\
w^{12}=1+i\cdot0\\
w^{12}=1
[/tex3]
[tex3]z^{12}\cdot w^{12}\\2^{12}\cdot1\\2^{12}[/tex3]
z^{12}=2^{12}(\cos360+i\cdot\sen360)\\
z^{12}=2^{12}(1+i\cdot0)\\
z^{12}=2^{12}[/tex3]
[tex3]w^{12}=1^{12}(\cos120\cdot12+i\sen120\cdot12)\\
w^{12}=\cos1440+i\sen1440\\
\boxed{1440°\to0^°}\\
w^{12}=1+i\cdot0\\
w^{12}=1
[/tex3]
[tex3]z^{12}\cdot w^{12}\\2^{12}\cdot1\\2^{12}[/tex3]
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Jun 2019
24
22:03
Re: (PSC 2017) Números Complexos
Alguém poderia me dizer, por favor, como descubro a razão trigonometrica de um número tão alto como esse: sen1440 e cos 1440?
Jun 2019
24
22:40
Re: (PSC 2017) Números Complexos
[tex3]\sin(\theta+k\cdot2\pi)=\sin\theta[/tex3]
Agora, repare que 1440 é múltiplo de 360.
[tex3]1440=4\cdot360=0+4\cdot2\pi[/tex3] .
Logo,
[tex3]\sin1440^\circ=\sin0^\circ[/tex3]
* Usualmente, utiliza-se a notação [tex3]2k\pi[/tex3], ao invés de [tex3]k\cdot2\pi[/tex3].
, pois o período da função seno é [tex3]2\pi[/tex3]
. O mesmo vale para o cosseno.Agora, repare que 1440 é múltiplo de 360.
[tex3]1440=4\cdot360=0+4\cdot2\pi[/tex3] .
Logo,
[tex3]\sin1440^\circ=\sin0^\circ[/tex3]
* Usualmente, utiliza-se a notação [tex3]2k\pi[/tex3], ao invés de [tex3]k\cdot2\pi[/tex3].
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Jun 2019
25
13:22
Re: (PSC 2017) Números Complexos
Olá csmarcelo, obrigado por ter respondido.
Até onde vc disse que 1440 é multiplo de 360, eu entendi, mas queria saber se vc substituiu aquele "0+4.2pi" formula que vc apresentou logo na primeira linha. Além disso, ainda não entendi como vc chegou ao seno de zero. Poderia me explicar um pouquinho mais detalhado por favor?
Até onde vc disse que 1440 é multiplo de 360, eu entendi, mas queria saber se vc substituiu aquele "0+4.2pi" formula que vc apresentou logo na primeira linha. Além disso, ainda não entendi como vc chegou ao seno de zero. Poderia me explicar um pouquinho mais detalhado por favor?
Jun 2019
25
13:49
Re: (PSC 2017) Números Complexos
[tex3]\sin(\theta+k\cdot2\pi)=\sin\theta[/tex3]
Essa identidade deriva do fato da função seno possuir período [tex3]2\pi[/tex3] .
Dizer que uma função real [tex3]f[/tex3] possui período [tex3]p[/tex3] - logo, é função periódica -, é dizer que [tex3]f(x)=f(x\pm kp)[/tex3] , [tex3]x,p\in\mathbb{R}[/tex3] , [tex3]k\in\mathbb{Z}[/tex3] . E isso vale para qualquer função, não somente as trigonométricas.
Dito isso, se fizermos, [tex3]\theta=0^\circ[/tex3] , então
[tex3]\sin(0^\circ+k\cdot2\pi)=\sin0^\circ[/tex3]
Repare que [tex3]0+4\cdot2\pi[/tex3] é justamente da forma [tex3]0^\circ+k\cdot2\pi[/tex3] , onde [tex3]k=4[/tex3] .
, [tex3]\theta\in\mathbb{R}[/tex3]
, [tex3]k\in\mathbb{Z}[/tex3]
, é uma identidade trigonométrica, ou seja, é verdade para quaisquer valores reais de [tex3]\theta[/tex3]
e [tex3]k[/tex3]
.Essa identidade deriva do fato da função seno possuir período [tex3]2\pi[/tex3] .
Dizer que uma função real [tex3]f[/tex3] possui período [tex3]p[/tex3] - logo, é função periódica -, é dizer que [tex3]f(x)=f(x\pm kp)[/tex3] , [tex3]x,p\in\mathbb{R}[/tex3] , [tex3]k\in\mathbb{Z}[/tex3] . E isso vale para qualquer função, não somente as trigonométricas.
Dito isso, se fizermos, [tex3]\theta=0^\circ[/tex3] , então
[tex3]\sin(0^\circ+k\cdot2\pi)=\sin0^\circ[/tex3]
Repare que [tex3]0+4\cdot2\pi[/tex3] é justamente da forma [tex3]0^\circ+k\cdot2\pi[/tex3] , onde [tex3]k=4[/tex3] .
Jun 2019
25
13:55
Re: (PSC 2017) Números Complexos
Uma outra forma de verificarmos que [tex3]\sin1440^\circ=\sin0^\circ[/tex3]
Se [tex3]\alpha[/tex3] é a primeira determinação positiva de [tex3]\beta[/tex3] , então [tex3]\sin\alpha=\sin\beta[/tex3] e, nesse caso, o mesmo vale para todas as outras funções trigonométricas, ou seja, [tex3]\cos\alpha=\cos\beta[/tex3] , [tex3]\tg\alpha=\tg\beta[/tex3] , e por aí vai.
é perceber que este é a primeira determinação positiva daquele.Se [tex3]\alpha[/tex3] é a primeira determinação positiva de [tex3]\beta[/tex3] , então [tex3]\sin\alpha=\sin\beta[/tex3] e, nesse caso, o mesmo vale para todas as outras funções trigonométricas, ou seja, [tex3]\cos\alpha=\cos\beta[/tex3] , [tex3]\tg\alpha=\tg\beta[/tex3] , e por aí vai.
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