Ensino Médio ⇒ Numeros Complexos Tópico resolvido

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psc 2012
Q51
A soma dos números complexos i+i2+i3+...+i2011 vale:
a)-1
b)1
c)i
d)-i
e)0

[leomaxwell]

[tex3]i^1=i[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]i^1=i[/tex3]

[tex3]i^2=-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]i^2=-1[/tex3]

[tex3]i^3=-i[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]i^3=-i[/tex3]

[tex3]i^4=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]i^4=1[/tex3]

[tex3]i^5=i^1=i[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]i^5=i^1=i[/tex3]

[tex3]i^6=i^2=-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]i^6=i^2=-1[/tex3]

.
.
.
[tex3]i^{2009}=i[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]i^{2009}=i[/tex3]

[tex3]i^{2010}=-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]i^{2010}=-1[/tex3]

[tex3]i^{2011}=-i[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]i^{2011}=-i[/tex3]

[tex3]S=\underbrace{i+i^2+i^3+i^4}_{i-1-i+1=0}+\underbrace{i^5+i^6+i^7+i^8}_{i-1-i+1=0}+...+\underbrace{i^{2009}+i^{2010}+i^{2011}}_{i-1-i}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S=\underbrace{i+i^2+i^3+i^4}_{i-1-i+1=0}+\underbrace{i^5+i^6+i^7+i^8}_{i-1-i+1=0}+...+\underbrace{i^{2009}+i^{2010}+i^{2011}}_{i-1-i}[/tex3]

[tex3]S=-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S=-1[/tex3]

[Ivo213]

psc 2012
Q51
A soma dos números complexos i+i2+i3+...+i2011 vale:
a)-1
b)1
c)i
d)-i
e)0

Boa tarde,

i¹ = i
i² = -1
i³ = -i
i⁴ = 1

A partir de i⁵ esse grupo se repete (i, -1, -i, 1).
Como i + -1 + -i + 1 = 0, a soma de todos irá depender do resto de 2011/4:
2011/4 = 502, resto 3.
Resto 3 significa que o resultado será igual ao 3º elemento do grupo acima, ou seja, igual a -i.

Alternativa (d)


"De novo, lhes falava Jesus, dizendo: Eu sou a luz do mundo; quem me segue não andará nas trevas; pelo contrário, terá a luz da vida." — João 8:12