(FGV/SP/ADM/2017.2) Quando uma matriz M = [tex3]\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}[/tex3]
possui uma matriz inversa, ela é dada por [tex3]M^{-1} = \frac{1}{det (M)}\begin{pmatrix}
d & -b \\
-c & a \\
\end{pmatrix}[/tex3]
em que det(M) é o determinante da matriz M.
Dadas as matrizes A = [tex3]\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
5 & 3 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
, B = [tex3]\begin{pmatrix}
3 & 5 \\
1 & 2 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
e C = [tex3]\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & 4 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
, a matriz X que satisfaz a equação matricial A.X.B = C tem como soma de seus elementos o valor:
a) 16
b) 14
c) 18
d) 12
e) 20
Ensino Médio ⇒ Matrizes Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Nov 2017
12
19:48
Re: Matrizes
Como é uma questão discursiva o examinador quer que você utilize os conceitos do enunciado.
A.X.B =C
Multiplicando os dois lados pela inversas de A e B não iremos alterar a equação:
[tex3]A.A^{-1}.X.B.B^{-1}=C,A^{-1}.B^{-1}[/tex3]
´mas uma matriz multiplicada pela sua inversa = a matriz identidade(I):
[tex3]I.X.I=A^{-1}.B^{-1}.C [/tex3] mas I.X.I será igual ao próprio X:
[tex3]X=A^{-1}.B^{-1}.C [/tex3] agora basta calcular as inversas:
D(A) = 23-(5.1) = 1 [tex3]\rightarrow A^{-1}=\frac{1}{1}.\begin{vmatrix}
3 & -5\\
-1& 2
\end{vmatrix}[/tex3]
D(B) = 3.2-(5.1) = 1 [tex3]\rightarrow B^{-1}=\frac{1}{1}.\begin{vmatrix}
2 & -1\\
-5& 3
\end{vmatrix}[/tex3]
X = [tex3]\begin{vmatrix}
3 & -5\\
-1& 2
\end{vmatrix}.\begin{vmatrix}
2 & -1\\
-5& 3
\end{vmatrix}.\begin{vmatrix}
2 & 0\\
0& 4
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
16 & -42\\
-28&74
\end{vmatrix}[/tex3]
Somando os elementos teremos: 16+74-28-42=20
A.X.B =C
Multiplicando os dois lados pela inversas de A e B não iremos alterar a equação:
[tex3]A.A^{-1}.X.B.B^{-1}=C,A^{-1}.B^{-1}[/tex3]
´mas uma matriz multiplicada pela sua inversa = a matriz identidade(I):
[tex3]I.X.I=A^{-1}.B^{-1}.C [/tex3] mas I.X.I será igual ao próprio X:
[tex3]X=A^{-1}.B^{-1}.C [/tex3] agora basta calcular as inversas:
D(A) = 23-(5.1) = 1 [tex3]\rightarrow A^{-1}=\frac{1}{1}.\begin{vmatrix}
3 & -5\\
-1& 2
\end{vmatrix}[/tex3]
D(B) = 3.2-(5.1) = 1 [tex3]\rightarrow B^{-1}=\frac{1}{1}.\begin{vmatrix}
2 & -1\\
-5& 3
\end{vmatrix}[/tex3]
X = [tex3]\begin{vmatrix}
3 & -5\\
-1& 2
\end{vmatrix}.\begin{vmatrix}
2 & -1\\
-5& 3
\end{vmatrix}.\begin{vmatrix}
2 & 0\\
0& 4
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
16 & -42\\
-28&74
\end{vmatrix}[/tex3]
Somando os elementos teremos: 16+74-28-42=20
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