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Inequação Exponencial com Logaritmos
Enviado: Sex 10 Nov, 2017 11:09
por Killin
Sendo [tex3]x>0,x \neq 1, a>0 \wedge a \neq1[/tex3]
, resolva a inequação em x: [tex3]x^{\log_ax} \leq a[/tex3]
Re: Inequação Exponencial com Logaritmos
Enviado: Sex 10 Nov, 2017 12:04
por MatheusBorges
Supondo a>1
Aplicando,[tex3]\log_{a}[/tex3]
em ambos os lados de [tex3]x^{log_ax} \leq a[/tex3]
[tex3]\log_{a}x.\log_{a}x\leq \log_{a}a[/tex3]
[tex3]\log_{a}x=t[/tex3]
[tex3]t^{2}-1\leq 0\rightarrow -1\leq t\leq 1\rightarrow \log_{a}\frac{1}{a}\leq \log_{a}x\leq \log_{a}a\rightarrow \frac{1}{a}\leq x\leq a\cap x\neq 1[/tex3]
Supondo 0<a<1
Aplicando,[tex3]\log_{a}[/tex3]
em ambos os lados de [tex3]x^{log_ax} \leq a[/tex3]
[tex3]\log_{a}x.\log_{a}x\geq \log_{a}a[/tex3]
[tex3]\log_{a}x=t\rightarrow t^{2}-1\geq 0\rightarrow t\leq -1\sqcup t\geq 1\rightarrow \log_{a}x\leq \log_{a}\frac{1}{a}\sqcup \log_{a}x\geq \log_{a}a\rightarrow 0 < x \leq a \vee x \geq \frac{1}{a}[/tex3]
[/tex3]
Como a é decimal [tex3]\frac{1}{a}[/tex3]
é maior que 1
e como sempre inverte a desigualdade, você tem que garantir que o x é maior que 0.
Re: Inequação Exponencial com Logaritmos
Enviado: Sex 10 Nov, 2017 13:11
por petras
Aplicando,logax em ambos os lados de
[tex3]x^{log_ax} \leq a\rightarrow \log_{a}x.\log_{a}x\leq \log_{a}a[/tex3]
Como chegou a essa expressão depois de aplicar o logax
Re: Inequação Exponencial com Logaritmos
Enviado: Sex 10 Nov, 2017 13:13
por Killin
Na realidade ele aplicou [tex3]log_a[/tex3]
nos dois lados.
Re: Inequação Exponencial com Logaritmos
Enviado: Sex 10 Nov, 2017 13:26
por Killin
MafIl10 escreveu: ↑Sex 10 Nov, 2017 12:04
Supondo 0<a<1
Por que em 0<a<1 a desigualdade foi invertida depois de aplicar [tex3]log_a[/tex3]
na expressão dada?
Re: Inequação Exponencial com Logaritmos
Enviado: Sex 10 Nov, 2017 13:32
por petras
Agora ficou possível chegar na expressão.
Condição da inequação logarítmica. Base entre 0 e 1 o sinal da inequação deve ser invertido