Ensino MédioInequação Exponencial com Logaritmos Tópico resolvido

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Killin
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Inequação Exponencial com Logaritmos

Mensagem não lida por Killin »

Sendo [tex3]x>0,x \neq 1, a>0 \wedge a \neq1[/tex3] , resolva a inequação em x: [tex3]x^{\log_ax} \leq a[/tex3]
Resposta

Se [tex3]a>1, \frac{1}{a}\leq x \leq a \wedge x \neq1 \\ [/tex3]

Se [tex3] 0 < a < 1,\,\,\, 0 < x \leq a \vee x \geq \frac{1}{a}[/tex3]

Última edição: Killin (Sex 10 Nov, 2017 11:13). Total de 1 vez.


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MatheusBorges
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Re: Inequação Exponencial com Logaritmos

Mensagem não lida por MatheusBorges »

Supondo a>1
Aplicando,[tex3]\log_{a}[/tex3] em ambos os lados de [tex3]x^{log_ax} \leq a[/tex3]

[tex3]\log_{a}x.\log_{a}x\leq \log_{a}a[/tex3]
[tex3]\log_{a}x=t[/tex3]
[tex3]t^{2}-1\leq 0\rightarrow -1\leq t\leq 1\rightarrow \log_{a}\frac{1}{a}\leq \log_{a}x\leq \log_{a}a\rightarrow \frac{1}{a}\leq x\leq a\cap x\neq 1[/tex3]

Supondo 0<a<1
Aplicando,[tex3]\log_{a}[/tex3] em ambos os lados de [tex3]x^{log_ax} \leq a[/tex3]
[tex3]\log_{a}x.\log_{a}x\geq \log_{a}a[/tex3]
[tex3]\log_{a}x=t\rightarrow t^{2}-1\geq 0\rightarrow t\leq -1\sqcup t\geq 1\rightarrow \log_{a}x\leq \log_{a}\frac{1}{a}\sqcup \log_{a}x\geq \log_{a}a\rightarrow 0 < x \leq a \vee x \geq \frac{1}{a}[/tex3] [/tex3]
Como a é decimal [tex3]\frac{1}{a}[/tex3] é maior que 1
e como sempre inverte a desigualdade, você tem que garantir que o x é maior que 0.

Última edição: MatheusBorges (Sex 10 Nov, 2017 13:19). Total de 1 vez.


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petras
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Re: Inequação Exponencial com Logaritmos

Mensagem não lida por petras »

Aplicando,logax em ambos os lados de
[tex3]x^{log_ax} \leq a\rightarrow \log_{a}x.\log_{a}x\leq \log_{a}a[/tex3]

Como chegou a essa expressão depois de aplicar o logax



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Killin
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Re: Inequação Exponencial com Logaritmos

Mensagem não lida por Killin »

Na realidade ele aplicou [tex3]log_a[/tex3] nos dois lados.


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Killin
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Re: Inequação Exponencial com Logaritmos

Mensagem não lida por Killin »

MafIl10 escreveu:
Sex 10 Nov, 2017 12:04
Supondo 0<a<1
Por que em 0<a<1 a desigualdade foi invertida depois de aplicar [tex3]log_a[/tex3] na expressão dada?


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petras
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Re: Inequação Exponencial com Logaritmos

Mensagem não lida por petras »

Agora ficou possível chegar na expressão.

Condição da inequação logarítmica. Base entre 0 e 1 o sinal da inequação deve ser invertido

Última edição: petras (Sex 10 Nov, 2017 13:35). Total de 1 vez.



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