Olá,
Acabei de começar no Noções de matemática um tópico chamado "posição de um número em relação às raízes de uma equação do 2° grau". Aí o livro começa:
Teorema:
Se [tex3]a\cdot f(\alpha) \geq 0[/tex3]
, então [tex3]f[/tex3]
admite dois zeros distintos, [tex3]x_1 < x_2[/tex3]
e [tex3]x_1 < \alpha < x_2[/tex3]
Demonstração:
Se fosse [tex3]\Delta \leq 0[/tex3]
teríamos [tex3]f(\alpha)=0[/tex3]
ou [tex3]f(\alpha)[/tex3]
com o mesmo sinal de [tex3]a[/tex3]
, isto é, [tex3]af(\alpha)<0[/tex3]
, o que contraria a hipótese [tex3]af(\alpha) <0[/tex3]
; então [tex3]\Delta >0[/tex3]
e [tex3]f[/tex3]
admite dois zeros [tex3]x_1[/tex3]
e [tex3]x_2[/tex3]
distintos. Admitamos [tex3]x_1 < x_2[/tex3]
. [...]
Não consegui entender algumas coisas:
1) Por que ele decidiu fazer uma hipótese com [tex3]a[/tex3]
multiplicando [tex3]f(\alpha)[/tex3]
??
2) "Se fosse [tex3]\Delta \leq 0[/tex3]
teríamos [tex3]f(\alpha)=0[/tex3]
ou [tex3]f(\alpha)[/tex3]
com o mesmo sinal de [tex3]a[/tex3]
", não entendi pq se [tex3]\Delta =0[/tex3]
teríamos [tex3]f(\alpha) = 0[/tex3]
3) Se [tex3]a[/tex3]
e [tex3]f(\alpha) [/tex3]
tem o mesmo sinal, não deveria ser [tex3]af(\alpha)>0[/tex3]
?
4) "o que contraria a hipótese [tex3]af(\alpha) <0[/tex3]
", a hipótese não era [tex3]a\cdot f(\alpha) \geq 0[/tex3]
?
Desculpa se esse não é o espaço pra esse tipo de pergunta, não sabia onde colocar. E muito obrigado desde já!
Ensino Médio ⇒ Dúvida em função do 2° grau (Aref 1) Tópico resolvido
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21:31
Dúvida em função do 2° grau (Aref 1)
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21:42
Re: Dúvida em função do 2° grau (Aref 1)
Leo você tem o FME aí? ele explica bem detalhado o porque de tudo.
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Nov 2017
02
21:51
Re: Dúvida em função do 2° grau (Aref 1)
na verdade é [tex3]a \cdot f(\alpha) \leq 0[/tex3]
o que ele quer dizer é o seguinte: se a função possui duas raízes, as imagens das abscissas que estão entre esses valores terão o sinal oposto de a, logo estando esse [tex3]\alpha [/tex3] entre as raízes, [tex3]a \cdot f(\alpha)\leq0[/tex3] .
exemplo: se a função possuí duas raízes, e [tex3]a>0[/tex3] , as imagens dos ''alphas'' que estão entre as raízes são negativas, certo? logo, [tex3]a \cdot f(\alpha) \leq0[/tex3] .
se a<0, as imagens dos ''alphas'' que estão entre as raízes são positivas. logo, [tex3]a \cdot f(\alpha) \leq0[/tex3]
note que [tex3]a \cdot f(\alpha)=0 [/tex3] quando [tex3]f(\alpha)=0[/tex3]
. tem um erro de digitação nessa parte.o que ele quer dizer é o seguinte: se a função possui duas raízes, as imagens das abscissas que estão entre esses valores terão o sinal oposto de a, logo estando esse [tex3]\alpha [/tex3] entre as raízes, [tex3]a \cdot f(\alpha)\leq0[/tex3] .
exemplo: se a função possuí duas raízes, e [tex3]a>0[/tex3] , as imagens dos ''alphas'' que estão entre as raízes são negativas, certo? logo, [tex3]a \cdot f(\alpha) \leq0[/tex3] .
se a<0, as imagens dos ''alphas'' que estão entre as raízes são positivas. logo, [tex3]a \cdot f(\alpha) \leq0[/tex3]
note que [tex3]a \cdot f(\alpha)=0 [/tex3] quando [tex3]f(\alpha)=0[/tex3]
Última edição: Killin (Qui 02 Nov, 2017 21:54). Total de 2 vezes.
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Nov 2017
02
22:04
Re: Dúvida em função do 2° grau (Aref 1)
tenta n se apegar mt à essa demonstração dele... o que ele quer dizer é basicamente o que te expliquei acima.
quando eu estudei essa parte também fiquei bem confuso com essa demonstração...
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02
22:11
Re: Dúvida em função do 2° grau (Aref 1)
Embasamento: Fonte Iezzi.
Veja[tex3]a.f(x)=a^{2}(x-x1).(x-x2)\rightarrow \frac{a.f(x)}{a}=\frac{a^{2}(x-x1).(x-x2)}{a}\rightarrow f(x)=a.(x-x1).(x-2)[/tex3]
Como x maior que x1 e menor que x2
[tex3]x-x1>0[/tex3]
[tex3]x-x2<0[/tex3]
Então
[tex3](x-x1).(x-2)<0[/tex3]
É fácil ver que se a for positivo a imagem é negativa e se a for negativo a imagem é positiva ou seja o inverso de a.
Exemplo a= -1
[tex3]y=-1.(x-x1).(x-2)<0[/tex3]
Como
[tex3](x-x1).(x-2)<0[/tex3]
Então:
[tex3]y>0[/tex3]
Agora, multiplicando por a [tex3]f(x)=a.(x-x1).(x-2)[/tex3] .
[tex3]a.f(x)=a^{2}(x-x1).(x-x2)[/tex3] .
[tex3]a^{2}[/tex3] é sempre positivo, vezes algo que é sempre negativo [tex3]\rightarrow [/tex3] .
Se x1<x<x2
[tex3]a.f(x)<0[/tex3]
Se x1<x<x2Veja[tex3]a.f(x)=a^{2}(x-x1).(x-x2)\rightarrow \frac{a.f(x)}{a}=\frac{a^{2}(x-x1).(x-x2)}{a}\rightarrow f(x)=a.(x-x1).(x-2)[/tex3]
Como x maior que x1 e menor que x2
[tex3]x-x1>0[/tex3]
[tex3]x-x2<0[/tex3]
Então
[tex3](x-x1).(x-2)<0[/tex3]
É fácil ver que se a for positivo a imagem é negativa e se a for negativo a imagem é positiva ou seja o inverso de a.
Exemplo a= -1
[tex3]y=-1.(x-x1).(x-2)<0[/tex3]
Como
[tex3](x-x1).(x-2)<0[/tex3]
Então:
[tex3]y>0[/tex3]
Agora, multiplicando por a [tex3]f(x)=a.(x-x1).(x-2)[/tex3] .
[tex3]a.f(x)=a^{2}(x-x1).(x-x2)[/tex3] .
[tex3]a^{2}[/tex3] é sempre positivo, vezes algo que é sempre negativo [tex3]\rightarrow [/tex3] .
Se x1<x<x2
[tex3]a.f(x)<0[/tex3]
Última edição: MatheusBorges (Qui 02 Nov, 2017 22:20). Total de 2 vezes.
A alegria está na luta, na tentativa, no sofrimento envolvido e não na vitória propriamente dita.
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09:39
Re: Dúvida em função do 2° grau (Aref 1)
Muito obrigado MafIl10 e Killin, vou dar uma olhada no iezzi sim
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