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b) [tex3]20(1 + \sqrt{2})cm[/tex3]
c) [tex3]40 cm[/tex3]
d) [tex3]40,8cm[/tex3]
e) [tex3]12\sqrt{3}cm[/tex3]
Resposta
b
Ensino Médio ⇒ Esferas Tangentes - Pilha de Bolas - Altura Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Nov 2017
02
11:12
Esferas Tangentes - Pilha de Bolas - Altura
87.540 - Em uma competição de boliche, 14 bolas, com 20cm de diâmetro, foram dispostas no formato de uma pirâmide quadrangular regular, conforme a figura. A altura dessa pilha é:
a) [tex3]20\sqrt{2}cm[/tex3]
b) [tex3]20(1 + \sqrt{2})cm[/tex3]
c) [tex3]40 cm[/tex3]
d) [tex3]40,8cm[/tex3]
e) [tex3]12\sqrt{3}cm[/tex3]
b
a) [tex3]20\sqrt{2}cm[/tex3]
b) [tex3]20(1 + \sqrt{2})cm[/tex3]
c) [tex3]40 cm[/tex3]
d) [tex3]40,8cm[/tex3]
e) [tex3]12\sqrt{3}cm[/tex3]
b
Última edição: caju (Qui 02 Nov, 2017 11:32). Total de 1 vez.
Razão: Arrumar imagem.
Razão: Arrumar imagem.
-
joaopcarv 
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Nov 2017
13
01:39
Re: Esferas Tangentes - Pilha de Bolas - Altura
Boa noite pós ENEM 
, ismaelmat 
Observe este anexo [tex3]\Rrightarrow[/tex3]
Veja que, no dito arranjo esférico, eu liguei raios das bolas de boliche [tex3]\Bigg(R \ \rightarrow \ \frac{20}{2} \ = \ 10 \ cm \Bigg)[/tex3]
mostrando com fica uma das [tex3]4[/tex3]
faces triangulares da pirâmide formada.
Sendo [tex3]L_{(l)}[/tex3] laterais os lados, veja que temos, formando-os, [tex3]\longrightarrow[/tex3]
[tex3]L_{(l)} \ = \ R \ + \ 2 \ \cdot \ R \ + \ R \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]L_{(l)} \ = \ 4 \ \cdot \ \underbrace{10 \ cm}_{R} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{L_{(l)} \ = \ 40 \ cm} \ \Rightarrow[/tex3] Lados das faces triangulares equiláteras da pirâmide formada!
Além disso, as "bases" dos [tex3]\triangle[/tex3] formam o quadrado de lado [tex3]L_{(b)} \ = \ L_{(l)} \ = \ 40 \ cm.[/tex3]
Veja ainda que as faces são iguais e dispostas regularmente (não deu para desenhar todas as bolas de boliche no desenho, ficaria muito ilegível).
Temos uma pirâmide regular quadrada de lados laterais e da base iguais de valor [tex3]L \ = \ 40 \ cm.[/tex3]
A altura da pirâmide [tex3]H_{(pir)} \ \perp[/tex3] plano da base finca-se no centro da mesma (quadrada). [tex3]H_{(pir)}[/tex3] é "conectada" às arestas laterais. Veja que, na base, ao "conectarmos" o centro da mesma em uma aresta lateral, temos a semi-diagonal da base quadrada [tex3]Sd_{(b \ \square)}[/tex3].
Sendo [tex3]Sd_{(b \ \square)} \ \perp \ H_{(pir)}[/tex3] , formamos um Pitágoras :
[tex3]L^2 \ = \ Sd_{(b \ \square)}^2 \ + \ H_{(pir)}^2 \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]40^2 \ = \ \Bigg(\underbrace{\frac{\cancelto{40}{L} \ \cdot \sqrt{2}}{2}}_{semi-diagonal}\Bigg)^2 \ + \ H_{(pir)}^2 \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]1600 \ = \ \cancelto{800}{\frac{1600}{2}} \ + \ H_{(pir)}^2 \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]H_{(pir)}^2 \ = \ \cancelto{800}{(1600 \ - \ 800)} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]H_{(pir)}^2 \ = \ 800 \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]H_{(pir)} \ = \ \sqrt{800} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{H_{(pir)} \ = \ 20 \ \cdot \ \sqrt{2} \ cm} \ \rightarrow[/tex3] Altura piramidal!
Mas veja que no desenho, deixei indicado que, na pilha, ainda faltam dois raios a serem considerados para se compor a altura [tex3]H[/tex3] da dita pilha. Logo [tex3]\Rrightarrow[/tex3]
[tex3]H \ = \ 2 \ \cdot \ R \ + \ H_{(pir)} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]H \ = \ 2 \ \cdot \ 10 \ + \ 20 \ \cdot \ \sqrt{2} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]H \ = \ 20 \ + \ 20 \ \cdot \ \sqrt{2} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{H \ = \ 20 \ \cdot \ (1 \ + \ \sqrt{2}) \ cm}} \ \Rrightarrow[/tex3] Altura da pilha!
, ismaelmat Observe este anexo [tex3]\Rrightarrow[/tex3]
- piramidesesferas.jpg (65.58 KiB) Exibido 1424 vezes
Sendo [tex3]L_{(l)}[/tex3] laterais os lados, veja que temos, formando-os, [tex3]\longrightarrow[/tex3]
[tex3]L_{(l)} \ = \ R \ + \ 2 \ \cdot \ R \ + \ R \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]L_{(l)} \ = \ 4 \ \cdot \ \underbrace{10 \ cm}_{R} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{L_{(l)} \ = \ 40 \ cm} \ \Rightarrow[/tex3] Lados das faces triangulares equiláteras da pirâmide formada!
Além disso, as "bases" dos [tex3]\triangle[/tex3] formam o quadrado de lado [tex3]L_{(b)} \ = \ L_{(l)} \ = \ 40 \ cm.[/tex3]
Veja ainda que as faces são iguais e dispostas regularmente (não deu para desenhar todas as bolas de boliche no desenho, ficaria muito ilegível).
Temos uma pirâmide regular quadrada de lados laterais e da base iguais de valor [tex3]L \ = \ 40 \ cm.[/tex3]
A altura da pirâmide [tex3]H_{(pir)} \ \perp[/tex3] plano da base finca-se no centro da mesma (quadrada). [tex3]H_{(pir)}[/tex3] é "conectada" às arestas laterais. Veja que, na base, ao "conectarmos" o centro da mesma em uma aresta lateral, temos a semi-diagonal da base quadrada [tex3]Sd_{(b \ \square)}[/tex3].
Sendo [tex3]Sd_{(b \ \square)} \ \perp \ H_{(pir)}[/tex3] , formamos um Pitágoras :
[tex3]L^2 \ = \ Sd_{(b \ \square)}^2 \ + \ H_{(pir)}^2 \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]40^2 \ = \ \Bigg(\underbrace{\frac{\cancelto{40}{L} \ \cdot \sqrt{2}}{2}}_{semi-diagonal}\Bigg)^2 \ + \ H_{(pir)}^2 \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]1600 \ = \ \cancelto{800}{\frac{1600}{2}} \ + \ H_{(pir)}^2 \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]H_{(pir)}^2 \ = \ \cancelto{800}{(1600 \ - \ 800)} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]H_{(pir)}^2 \ = \ 800 \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]H_{(pir)} \ = \ \sqrt{800} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{H_{(pir)} \ = \ 20 \ \cdot \ \sqrt{2} \ cm} \ \rightarrow[/tex3] Altura piramidal!
Mas veja que no desenho, deixei indicado que, na pilha, ainda faltam dois raios a serem considerados para se compor a altura [tex3]H[/tex3] da dita pilha. Logo [tex3]\Rrightarrow[/tex3]
[tex3]H \ = \ 2 \ \cdot \ R \ + \ H_{(pir)} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]H \ = \ 2 \ \cdot \ 10 \ + \ 20 \ \cdot \ \sqrt{2} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]H \ = \ 20 \ + \ 20 \ \cdot \ \sqrt{2} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{H \ = \ 20 \ \cdot \ (1 \ + \ \sqrt{2}) \ cm}} \ \Rrightarrow[/tex3] Altura da pilha!
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
Poli-USP
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Poli-USP
Nov 2017
13
12:09
Re: Esferas Tangentes - Pilha de Bolas - Altura
joaopcarv esse enem foi triste mesmo ciências da natureza veio bem brocado e matemática errei cada questão besta e extremamente fácil só por falta de atenção!
Última edição: ismaelmat (Seg 13 Nov, 2017 14:12). Total de 1 vez.
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