Resolva a seguinte equação para [tex3]y\in \mathbb{R}[/tex3]
:
[tex3]2\sqrt[3]{2y-1}=y^3+1[/tex3]
Gabarito: [tex3]y=1 \ \ \ \ e \ \ \ \ y=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}[/tex3]
Ensino Médio ⇒ Equação Irracional Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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leomaxwell 
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Out 2017
28
16:40
Re: Equação Irracional
[tex3]2\sqrt[3]{2y-1}=y^3+1[/tex3]
Seja [tex3]2y-1=x^3[/tex3] , então:
[tex3]\begin{cases}
2x=y^3+1 \\
x^3=2y-1
\end{cases}[/tex3]
Somando as duas equações, vem
[tex3]y^3-x^2=2x-2y[/tex3]
[tex3](y-x)(y^2+xy+x^2)=-2(y-x)[/tex3]
Podemos ver que para todo [tex3](x,y)=(x,x)[/tex3] a equação tem solução. Façamos então [tex3]x=y[/tex3] :
[tex3]2\sqrt[3]{x^3}=y^3+1[/tex3]
[tex3]y^3-2y+1=0[/tex3]
[tex3](y-1)(y^2+y-1)=0[/tex3]
Então,
[tex3]y=1[/tex3] ou [tex3]y^2+y-1=0 \Longleftrightarrow y=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}[/tex3]
Agora falta provar que para os casos [tex3]x\neq y[/tex3] não há solução..
Seja [tex3]2y-1=x^3[/tex3] , então:
[tex3]\begin{cases}
2x=y^3+1 \\
x^3=2y-1
\end{cases}[/tex3]
Somando as duas equações, vem
[tex3]y^3-x^2=2x-2y[/tex3]
[tex3](y-x)(y^2+xy+x^2)=-2(y-x)[/tex3]
Podemos ver que para todo [tex3](x,y)=(x,x)[/tex3] a equação tem solução. Façamos então [tex3]x=y[/tex3] :
[tex3]2\sqrt[3]{x^3}=y^3+1[/tex3]
[tex3]y^3-2y+1=0[/tex3]
[tex3](y-1)(y^2+y-1)=0[/tex3]
Então,
[tex3]y=1[/tex3] ou [tex3]y^2+y-1=0 \Longleftrightarrow y=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}[/tex3]
Agora falta provar que para os casos [tex3]x\neq y[/tex3] não há solução..
Última edição: leomaxwell (Sáb 28 Out, 2017 22:37). Total de 2 vezes.
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jrneliodias 
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Out 2017
28
17:06
Re: Equação Irracional
leomaxwell, poderíamos terminar com
[tex3](y-x)(y^2+xy+y^2)=-2(y-x)[/tex3]
[tex3](y-x)(y^2+xy+y^2+2)=0[/tex3]
Se [tex3]\,\,y^2+xy+y^2+2=0[/tex3] , o delta seria
[tex3]\Delta = y^2-4(y^2+2)=-(3y^2+8)<0 [/tex3]
Então, não existiria solução real.
Muito boa solução. Parabéns
[tex3](y-x)(y^2+xy+y^2)=-2(y-x)[/tex3]
[tex3](y-x)(y^2+xy+y^2+2)=0[/tex3]
Se [tex3]\,\,y^2+xy+y^2+2=0[/tex3] , o delta seria
[tex3]\Delta = y^2-4(y^2+2)=-(3y^2+8)<0 [/tex3]
Então, não existiria solução real.
Muito boa solução. Parabéns
Para alcançar um objetivo, não procure motivação, busque a disciplina. Ela que irá fazer você levantar todos os dias para realizar seus sonhos. A motivação é o resultado, é o que sente no final do dia, quando deitar sua cabeça no travesseiro.
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MatheusBorges 
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Out 2017
28
17:14
Re: Equação Irracional
Jr, em (1) poderia separar o a,b,c da função, ficou confuso.jrneliodias escreveu: ↑Sáb 28 Out, 2017 17:06leomaxwell, poderíamos terminar com
[tex3](y-x)(y^2+xy+y^2)=-2(y-x)[/tex3]
[tex3](y-x)(y^2+xy+y^2+2)=0[/tex3]
Se [tex3]\,\,y^2+xy+y^2+2=0[/tex3] (1)
[tex3]\Delta = y^2-4(y^2+2)=-(3y^2+8)<0 [/tex3]
Então, não existiria solução real.
Muito boa solução. Parabéns
A alegria está na luta, na tentativa, no sofrimento envolvido e não na vitória propriamente dita.
-Mahatma Gandhi
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MatheusBorges
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Out 2017
28
23:27
Re: Equação Irracional
[tex3]2y^{2}+xy+2=0\rightarrow \Delta =x^{2}-4.2.2\rightarrow \Delta =x^{2}-16[/tex3]
Daqui não posso tirar conclusões que o [tex3]\Delta<0[/tex3] .
Daqui não posso tirar conclusões que o [tex3]\Delta<0[/tex3] .
A alegria está na luta, na tentativa, no sofrimento envolvido e não na vitória propriamente dita.
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leomaxwell
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Out 2017
29
00:02
Re: Equação Irracional
MafIl10, olá,
É que na minha resolução original, na pressa, eu acabei colocando [tex3](y^2+xy+y^2)[/tex3] , enquanto o certo seria [tex3](y^2+xy+x^2)[/tex3] e acho que o jrneliodias acabou copiando essa parte e não viu o erro... perdão
considerando isso, a gente teria a função de segundo grau [tex3](1)y^2+(x)y+(x^2+2)=0[/tex3] , daí
[tex3]\Delta =x^2-4\cdot1(x^2+2)=-3x^2-8=-(3x^2+8)<0[/tex3]
É que na minha resolução original, na pressa, eu acabei colocando [tex3](y^2+xy+y^2)[/tex3] , enquanto o certo seria [tex3](y^2+xy+x^2)[/tex3] e acho que o jrneliodias acabou copiando essa parte e não viu o erro... perdão
considerando isso, a gente teria a função de segundo grau [tex3](1)y^2+(x)y+(x^2+2)=0[/tex3] , daí
[tex3]\Delta =x^2-4\cdot1(x^2+2)=-3x^2-8=-(3x^2+8)<0[/tex3]
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MatheusBorges
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Out 2017
29
00:12
Re: Equação Irracional
Agora sim, obrigado!
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Hanon 
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Out 2017
29
00:30
Re: Equação Irracional
Muito obrigado leomaxwell e jrneliodias. Agradeço muito pela colaboração. 
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