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Wesleycienc
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Probabilidade

Mensagem não lida por Wesleycienc »

1) Consideramos urnas i, ii, iii 3 bolas amarelas e 7 brancas: 5 bolas amarelas  e 5 brancas: 7 bolas amarelas e 3 brancas. Dois dados sao lancados e se um soma dos resultados para menor que 5, retira-se uma bola a soma dos resultados for menor 5 retira se uma bola da urna i, se a soma do resultado estive entr 5 e 8 ,retirar umar bola da urna ii; Se um soma do resultado para maior que 8, retira-se uma da urna iii.

Qual é a probabilidade de que a bola seja amarela?

Se a bola retirada for branca, qual a probabilidade de que a urna ii tenha sido selecionada ?

2) Em uma premiação, uma ficha é sorteada dentre 10 fichas enumeradas de 1 a 10. Defina os eventos A: o numero da ficha retirada é menor que 6; B: o numero da ficha retirada e par; C: o numero da ficha e maior do que 4.

Verifique se A e B sao independentes (comprovar sua resposta)

Verifique se B e C sao independentes (comprove sua resposta)

Última edição: jrneliodias (Sáb 28 Out, 2017 17:08). Total de 1 vez.
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joaopcarv
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Out 2017 29 01:14

Re: Probabilidade

Mensagem não lida por joaopcarv »

[tex3]1)[/tex3]

O enunciado parece um pouco confuso (por erros de digitação), mas eu entendi que :

[tex3]\Rightarrow[/tex3] Urna [tex3]I \ \longrightarrow[/tex3] [tex3]3[/tex3] amarelas e [tex3]7[/tex3] brancas;

[tex3]\Rightarrow[/tex3] Urna [tex3]II \ \longrightarrow[/tex3] [tex3]5[/tex3] amarelas e [tex3]5[/tex3] brancas;

[tex3]\Rightarrow[/tex3] Urna [tex3]III \ \longrightarrow[/tex3] [tex3]7[/tex3] amarelas e [tex3]3[/tex3] brancas;

Jogando [tex3]2[/tex3] dados, temos [tex3](6 \ \cdot \ 6) \ = \ 36[/tex3] possibilidades.

Dentre essas, temos [tex3]\Rightarrow[/tex3]

[tex3]\longrightarrow[/tex3] Soma menor do que [tex3]5[/tex3] :

[tex3]\rightarrow \ (1,1) \ = \ 2 :[/tex3] [tex3]\underbrace{P_{(2)_{(2)}}}_{Permutações \ dos \ resultados \ (2 \ repetições \ de \ 1)} \ = \ \frac{2!}{2!}
\ = \ \boxed{1 \ caso}[/tex3]

[tex3]\rightarrow \ (1,2) \ = \ 3 :[/tex3] [tex3]\underbrace{P_{(2)_{(0)}}}_{Permutações \ dos \ resultados \ (0 \ repetições)} \ = \ \frac{2!}{0!}
\ = \ \boxed{2 \ casos}[/tex3]

[tex3]\rightarrow \ (1,3) \ = \ 4 :[/tex3] [tex3]\underbrace{P_{(2)_{(0)}}}_{Permutações \ dos \ resultados \ (0 \ repetições)} \ = \ \frac{2!}{0!}
\ = \ \boxed{2 \ casos}[/tex3]

[tex3]\rightarrow \ (2,2) \ = \ 4 :[/tex3] [tex3]\underbrace{P_{(2)_{(2)}}}_{Permutações \ dos \ resultados \ (2 \ repetições \ de \ 2)} \ = \ \frac{2!}{2!}
\ = \ \boxed{1 \ caso}[/tex3]

Ou seja, para somas menores do que [tex3]5[/tex3] , temos [tex3]1 \ + \ 2 \ + \ 2 \ + \ 1 \ = \ \boxed{6 \ casos}[/tex3]

A probabilidade [tex3]p_{_{1}}[/tex3] de que, em [tex3]1[/tex3] lançamento, ocorra um desses casos é de [tex3]\longrightarrow[/tex3]

[tex3]p_{_{1}} \ =\ \frac{C^1_6}{C^1_{36}} \ \rightarrow \ p_{_{1}} \ = \ \frac{6}{36} \ \rightarrow \ \boxed{p_{_{1}} \ = \ \frac{1}{6}}[/tex3]

[tex3]\longrightarrow[/tex3] Soma entre [tex3]5[/tex3] e [tex3]8[/tex3] :

[tex3]\rightarrow \ (1,4) \ = \ 5 :[/tex3] [tex3]\underbrace{P_{(2)_{(0)}}}_{Permutações \ dos \ resultados \ (0 \ repetições)} \ = \ \frac{2!}{0!}
\ = \ \boxed{2 \ casos}[/tex3]

[tex3]\rightarrow \ (1,5) \ = \ 6 :[/tex3] [tex3]\underbrace{P_{(2)_{(0)}}}_{Permutações \ dos \ resultados \ (0 \ repetições)} \ = \ \frac{2!}{0!}
\ = \ \boxed{2 \ casos}[/tex3]

[tex3]\rightarrow \ (1,6) \ = \ 7 :[/tex3] [tex3]\underbrace{P_{(2)_{(0)}}}_{Permutações \ dos \ resultados \ (0 \ repetições)} \ = \ \frac{2!}{0!}
\ = \ \boxed{2 \ casos}[/tex3]

[tex3]\rightarrow \ (2,3) \ = \ 5 :[/tex3] [tex3]\underbrace{P_{(2)_{(0)}}}_{Permutações \ dos \ resultados \ (0 \ repetições)} \ = \ \frac{2!}{0!}
\ = \ \boxed{2 \ casos}[/tex3]

[tex3]\rightarrow \ (2,4) \ = \ 6 :[/tex3] [tex3]\underbrace{P_{(2)_{(0)}}}_{Permutações \ dos \ resultados \ (0 \ repetições)} \ = \ \frac{2!}{0!}
\ = \ \boxed{2 \ casos}[/tex3]

[tex3]\rightarrow \ (2,5) \ = \ 7 :[/tex3] [tex3]\underbrace{P_{(2)_{(0)}}}_{Permutações \ dos \ resultados \ (0 \ repetições)} \ = \ \frac{2!}{0!}
\ = \ \boxed{2 \ casos}[/tex3]

[tex3]\rightarrow \ (2,6) \ = \ 8 :[/tex3] [tex3]\underbrace{P_{(2)_{(0)}}}_{Permutações \ dos \ resultados \ (0 \ repetições)} \ = \ \frac{2!}{0!}
\ = \ \boxed{2 \ casos}[/tex3]

[tex3]\rightarrow \ (3,3) \ = \ 6 :[/tex3] [tex3]\underbrace{P_{(2)_{(2)}}}_{Permutações \ dos \ resultados \ (2 \ repetições \ de \ 2)} \ = \ \frac{2!}{2!}
\ = \ \boxed{1 \ caso}[/tex3]

[tex3]\rightarrow \ (3,4) \ = \ 7 :[/tex3] [tex3]\underbrace{P_{(2)_{(0)}}}_{Permutações \ dos \ resultados \ (0 \ repetições)} \ = \ \frac{2!}{0!}
\ = \ \boxed{2 \ casos}[/tex3]

[tex3]\rightarrow \ (3,5) \ = \ 8 :[/tex3] [tex3]\underbrace{P_{(2)_{(0)}}}_{Permutações \ dos \ resultados \ (0 \ repetições)} \ = \ \frac{2!}{0!}
\ = \ \boxed{2 \ casos}[/tex3]
8
[tex3]\rightarrow \ (4,4) \ = \ 8 :[/tex3] [tex3]\underbrace{P_{(2)_{(2)}}}_{Permutações \ dos \ resultados \ (2 \ repetições \ de \ 2)} \ = \ \frac{2!}{2!}
\ = \ \boxed{1 \ caso}[/tex3]

Ou seja, para somas entre [tex3]5[/tex3] e [tex3]8[/tex3] , temos [tex3]2 \ + \ 2 \ + \ 2 \ + \ 2 \ + \ 2 \ + \ 2 \ + \ 2 \ + \ 1 \ + \ 2 \ + \ 2 \ + \ 1 = \ \boxed{20 \ casos}[/tex3]

A probabilidade [tex3]p_{_{2}}[/tex3] de que, em [tex3]1[/tex3] lançamento, ocorra um desses casos é de [tex3]\longrightarrow[/tex3]

[tex3]p_{_{2}} \ =\ \frac{C^1_{20}}{C^1_{36}} \ \rightarrow \ p_{_{2}} \ = \ \frac{20}{36} \ \rightarrow \ \boxed{p_{_{2}} \ = \ \frac{5}{9}}[/tex3]

[tex3]\longrightarrow[/tex3] Soma maior do que [tex3]8[/tex3] :

São o que "sobra" das [tex3]36[/tex3] possibilidades, ou seja :

[tex3]\underbrace{36}_{total} \ - \ \underbrace{6}_{soma \ menor \ do \ que \ 5} \ - \ \underbrace{20}_{soma \ entre \ 5 \ e \ 8} \ = \ \boxed{10 \ casos}[/tex3]

A probabilidade [tex3]p_{_{3}}[/tex3] de que, em [tex3]1[/tex3] lançamento, ocorra um desses casos é de [tex3]\longrightarrow[/tex3]

[tex3]p_{_{3}} \ =\ \frac{C^1_{10}}{C^1_{36}} \ \rightarrow \ p_{_{3}} \ = \ \frac{10}{36} \ \rightarrow \ \boxed{p_{_{3}} \ = \ \frac{5}{18}}[/tex3]

[tex3]\Rightarrow[/tex3] Para a urna [tex3]I[/tex3] , foi atribuída [tex3]p_{_{1}}[/tex3] ;
[tex3]\Rightarrow[/tex3] Para a urna [tex3]II[/tex3] , foi atribuída [tex3]p_{_{2}}[/tex3] ;
[tex3]\Rightarrow[/tex3] Para a urna [tex3]III[/tex3] , foi atribuída [tex3]p_{_{3}}[/tex3] .

[tex3]a)[/tex3][tex3]\Rightarrow[/tex3] Probabilidade de se tirar [tex3]1[/tex3] bola amarela na urna [tex3]I \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\frac{C^1_3}{C^1_{10}} \ = \ \boxed{\frac{3}{10}}[/tex3]

[tex3]\Rightarrow[/tex3] Probabilidade de se tirar [tex3]1[/tex3] bola amarela na urna [tex3]II \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\frac{C^1_5}{C^1_{10}} \ \rightarrow \ \frac{5}{10} \ = \ \boxed{\frac{1}{2}}[/tex3]

[tex3]\Rightarrow[/tex3] Probabilidade de se tirar [tex3]1[/tex3] bola amarela na urna [tex3]III \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\frac{C^1_7}{C^1_{10}} \ = \ \boxed{\frac{7}{10}}[/tex3]

Logo, a probabilidade total de se tirar uma bola amarela de uma das urnas é [tex3]\longrightarrow[/tex3]

[tex3]p_{(amarela)} \ = \ \underbrace{p_{_{1}} \ \cdot \ \frac{3}{10}}_{urna \ I} \ \ \ \underbrace{+}_{caso \ independente} \ \ \underbrace{p_{_{2}} \ \cdot \ \frac{1}{2}}_{urna \ II} \ \ \underbrace{+}_{caso \ independente} \ \ \underbrace{p_{_{3}} \ \cdot \ \frac{7}{10}}_{urna \ III} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]p_{(amarela)} \ = \ \frac{1}{6} \ \cdot \ \frac{3}{10} \ + \ \frac{5}{9} \ \cdot \ \frac{1}{2} \ + \ \frac{5}{18} \ \cdot \ \frac{7}{10} \
\rightarrow[/tex3]

[tex3]p_{(amarela)} \ = \ \frac{1}{20} \ + \ \frac{5}{18} \ + \ \frac{7}{36}[/tex3] [tex3](MMC \ = \ 180)[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3]

[tex3]p_{(amarela)} \ = \ \frac{9 \ + \ 50 \ + \ 35}{180} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]p_{(amarela)} \ = \ \frac{94}{180} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{p_{(amarela)} \ = \ \frac{47}{90}}}[/tex3]

[tex3]b)[/tex3] Caso a bolinha já tenha saído e seja branca [tex3]\longrightarrow[/tex3]

Já sabemos que saiu a bolinha branca. Não precisamos tirar probabilidades em cima das retiradas, já que a retirada já aconteceu.

No caso, para que tenha sido a urna [tex3]II[/tex3] a escolhida, a probabilidade é simplesmente : [tex3]\boxed{\boxed{p_{_{2}} \ = \ \frac{5}{9}}}[/tex3]

[tex3]2)[/tex3]

Espaço amostral [tex3]\longrightarrow[/tex3] [tex3][1;2;3;4;5;6;7;8;9;10][/tex3]

[tex3]A \ :[/tex3] Em [tex3]1[/tex3] retirada, termos um número [tex3]< \ 6[/tex3] .

Ou seja, termos um elemento do conjunto [tex3]A \ = \ [1,2,3,4,5][/tex3] .

[tex3]B \ :[/tex3] Em [tex3]1[/tex3] retirada, termos um número par.

Ou seja, termos um elemento do conjunto [tex3]B \ = \ [2,4,6,8,10][/tex3] .

[tex3]C \ :[/tex3] Em [tex3]1[/tex3] retirada, termos um número [tex3]> \ 4[/tex3] .

Ou seja, termos um elemento do conjunto [tex3]C \ = \ [5,6,7,8,9,10][/tex3] .

Proposição : [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] são independentes [tex3]\dots[/tex3]

Vamos analisar a intersecção entre [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] [tex3]\longrightarrow[/tex3]

[tex3]A \ \cap \ B \ \neq \ \emptyset[/tex3] [tex3]\longrightarrow[/tex3] Independentes! (caso contrário, seriam complementares), ou seja, intersecção resultando em [tex3]\emptyset[/tex3] .

Vamos analisar a intersecção entre [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] [tex3]\longrightarrow[/tex3]

[tex3]B \ \cap \ C \ \neq \ \emptyset[/tex3] [tex3]\longrightarrow[/tex3] Independentes! (caso contrário, seriam complementares), ou seja, intersecção resultando em [tex3]\emptyset[/tex3] .

Acredito ser isso, mas peço que confira no seu gabarito.



That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.

"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"

Poli-USP

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