Ensino Médio ⇒ Desigualdade complexa

[Andre13000]

Seja [tex3]z \in \mathbb{C}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z \in \mathbb{C}[/tex3]

.

Se [tex3]\left|z^3+\frac{1}{z^3}\right|\leq 2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left|z^3+\frac{1}{z^3}\right|\leq 2[/tex3]

Então prove que [tex3]\left|z+\frac{1}{z}\right|\leq 2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left|z+\frac{1}{z}\right|\leq 2[/tex3]

[Caique]

[tex3]\left |z^3+\frac{1}{z^3} \right | \leq 2\\
\left |\left (z+\frac{1}{z} \right )\left(z^2-1+\frac{1}{z^2} \right ) \right | \leq 2 \\
\left| \left (z+\frac{1}{z} \right )\left [\left(z+\frac{1}{z}\right )^2-3 \right ]\right | \leq 2\\
\left| z+\frac{1}{z} \right |\cdot \left|\left(z+\frac{1}{z}\right )^2-3 \right | \leq 2
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left |z^3+\frac{1}{z^3} \right | \leq 2\\
\left |\left (z+\frac{1}{z} \right )\left(z^2-1+\frac{1}{z^2} \right ) \right | \leq 2 \\
\left| \left (z+\frac{1}{z} \right )\left [\left(z+\frac{1}{z}\right )^2-3 \right ]\right | \leq 2\\
\left| z+\frac{1}{z} \right |\cdot \left|\left(z+\frac{1}{z}\right )^2-3 \right | \leq 2
[/tex3]

Como o valor minimo de z+1/z é 2, então o valor minimo do segundo módulo é 1. Assim, o menor valor do primeiro módulo é 2

[Andre13000]

Como chegou a essa conclusão? Lembre-se que z é complexo.

[Auto Excluído (ID:12031)]

existem z = x +iy tais que
[tex3]|z^2 + \frac{1}{z^2} -1| <1[/tex3]

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[tex3]|z^2 + \frac{1}{z^2} -1| <1[/tex3]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7 ... -1%7C+%3C1

[Caique]

Vocês tem razão. Eu me passei

[Auto Excluído (ID:12031)]

Se [tex3]|z + \frac1z|>2[/tex3]

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[tex3]|z + \frac1z|>2[/tex3]

[tex3]|z^2 + \frac1{z^2} + 2| > 4[/tex3]

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[tex3]|z^2 + \frac1{z^2} + 2| > 4[/tex3]

[tex3]|z^2 + \frac{1}{z^2}| + 2 \geq |z^2 + \frac1{z^2} +2| >4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|z^2 + \frac{1}{z^2}| + 2 \geq |z^2 + \frac1{z^2} +2| >4[/tex3]

[tex3]|z^2 + \frac{1}{z^2}| > 2[/tex3]

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[tex3]|z^2 + \frac{1}{z^2}| > 2[/tex3]

então o número [tex3]z^2 + \frac1{z^2}[/tex3]

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[tex3]z^2 + \frac1{z^2}[/tex3]

está no exterior da circunferência centrada na origem de raio 2
ao deslocarmos ele de 1 para a esquerda ele estará no exterior da circunferência de raio 2 e centro -1
como a circunferência |z| =1 é tangente interior a circunferência de raio 2 e centro -1:
[tex3]|z^2 + \frac1{z^2}-1| >1[/tex3]

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[tex3]|z^2 + \frac1{z^2}-1| >1[/tex3]

então se [tex3]|z + \frac1z| >2[/tex3]

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[tex3]|z + \frac1z| >2[/tex3]

teremos [tex3]|z^3 + \frac1{z^3}| >2[/tex3]

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[tex3]|z^3 + \frac1{z^3}| >2[/tex3]

portanto dado que [tex3]|z^3 + \frac1{z^3}| \leq 2[/tex3]

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[tex3]|z^3 + \frac1{z^3}| \leq 2[/tex3]

devemos ter [tex3]|z + \frac1z| \leq2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|z + \frac1z| \leq2[/tex3]