Ensino Médio

[FUVEST] Na figura a seguir, AD = 2 cm, AB = [tex3]\sqrt{3}[/tex3] cm, a medida do ângulo BAC é 30° e BD = DC, em que D é ponto do lado AC. A medida do lado BC, em cm, é:

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Resposta

[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

DÚVIDA: Cheguei ao lado do triângulo isósceles= 1.Porém,não estou conseguindo aplicar a lei dos cossenos no triângulo BDC

Aplicando o teorema dos cossenos no ABD, temos:
[tex3]BD^2 = BA^2 + AD^2 -2(BA)(AD) \cos 30^{\circ} = 3+4 - 2(\sqrt 3 ) (2) \frac {\sqrt 3} 2 = 1 \Longrightarrow BD = 1 \text{ cm}[/tex3]
Stewart em ABC:
[tex3](AB)^2 (DC) + (BC)^2 (AD) = (BD)^2 (AC) + (AC) (AD)(DC) [/tex3]
onde [tex3]AB = \sqrt 3 , BC = x, BD = DC = 1 , AD = 2[/tex3]
[tex3](3)(1) + 2x^2 = (1^2) (3)+ (3)(2)(1) \Longrightarrow 3+2x^2 = 3 + 6 \Longrightarrow x^2 = 3 \Longrightarrow x = \sqrt 3 [/tex3]

Lei do cosseno em ABD:

[tex3]BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot cos(30^o) [/tex3]
[tex3]BD^2 = (\sqrt{3})^2 + 2^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 \cdot cos(30^o) [/tex3]
[tex3]BD= 1 [/tex3]

Lei do cosseno em ABC:

[tex3]BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot cos(30^o) [/tex3]
[tex3]BC^2 = (\sqrt{3})^2 + (AD+DC)^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot (AD+DC) \cdot cos(30^o) [/tex3]
[tex3]BC^2 = (\sqrt{3})^2 + (AD+BD)^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot (AD+BD) \cdot cos(30^o) [/tex3]
[tex3]BC^2 = (\sqrt{3})^2 + (2+1)^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot (2+1) \cdot cos(30^o) [/tex3]
[tex3]\boxed {BC = \sqrt{3}}[/tex3]

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