Veja este esquema bem esboçado [tex3]\Rrightarrow[/tex3]
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Por mais que o esquema não seja tão estético, vamos usá-lo :
O plano secante forma, nos limites da Terra, uma circunferência (a de borda vermelha) de centro [tex3]X[/tex3]
e de raio [tex3]r \
= \ \dfrac{\overbrace{R}^{Raio \ da \ Terra} \ \cdot \ \sqrt{3}}{3}[/tex3]
. Sejam [tex3]A[/tex3]
e [tex3]B[/tex3]
pontos pertencentes, primeiramente, à esfera terrestre, e que pertencem à dita circunferência.
Logo, [tex3]AX \ = \ BX \ = \ r.[/tex3]
Além disso, o ângulo entre os pontos [tex3]A[/tex3]
e [tex3]B[/tex3]
formam, no plano da circunferência (paralelo terrestre), [tex3]A\widehat{X}B \ = \ 120^\circ.[/tex3]
Lei do Cosseno, no [tex3]\Delta ABX,[/tex3]
para o ângulo [tex3]A\widehat{X}B \ = \ 120^\circ \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]AB^2 \ = \ AX^2 \ + \ BX^2 \ - \ 2 \ \cdot \ AX \ \cdot \ BX \ \cdot \ cos(A\widehat{X}B) \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]AB^2 \ = \ \bigg(\dfrac{R \ \cdot \ \sqrt{3}}{3}\bigg)^2 \ + \ \bigg(\dfrac{R \ \cdot \ \sqrt{3}}{3}\bigg)^2 \ - \ \cancel{2} \ \cdot \
\dfrac{R \ \cdot \ \cancel{\sqrt{3}}}{\cancel{3}} \ \cdot \ \dfrac{R \ \cdot \ \cancel{\sqrt{3}}}{3} \ \cdot \ \dfrac{-1}{\cancel{2}} \
\rightarrow[/tex3]
[tex3]AB^2 \ = \ \dfrac{R^2}{3} \ + \ \dfrac{R^2}{3} \ + \ \dfrac{R^2}{3} \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]AB^2 \ = \ R^2 \ \rightarrow[/tex3]
[tex3]\boxed{AB \ = \ R}[/tex3]
Agora veja o [tex3]\Delta ABC.[/tex3]
Lembrando que [tex3]A[/tex3]
e [tex3]B[/tex3]
pertencem à esfera, a distância deles até o centro da Terra [tex3]C \ = \ AC \ = \ BC \ = \ R.[/tex3]
Portanto, veja que o [tex3]\Delta \ ABC[/tex3]
é equilátero de lado [tex3]R[/tex3]
, o que significa que os seus três ângulos, dentre os quais está o procurado [tex3]A\widehat{C}B,[/tex3]
valem [tex3]60^\circ.[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{A\widehat{C}B \ = \ 60^\circ}} \ \Rrightarrow \ Alternativa \ 'd)'![/tex3]
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
Poli-USP